3 一阶逻辑：模型论
3.2 一阶语言
哥德尔编码
- Q: 如何用一个自然数，编码自然数的有序对？
A: 可以使用\(2^a 3^b\)，也可以在二维平面上从原点开始以“蛇形”给每个自然数为坐标的点编号。
注：前者会导致许多自然数没有对应的有序对，不是一一对应。但叙述起来较简单。
如果既要一一对应又要叙述简单，可以考虑\(2^x(2y+1)-1\) - Q: 解释形式上的表达式\(\aleph_0+\aleph_0^2+\cdots=\aleph_0\).
A: 提示：把每一“项”和\(\aleph_0\)做一一对应，整体就相当于\(\aleph_0^2=\aleph_0\)了。 - Q: 尝试用0.和1.解释哥德尔编码。
A: 提示：
\(f^n_k\)相当于有序对。（形式上可以用\(\aleph_0^2=\aleph_0\)表达）
如何用一个自然数编码\(a_1,\cdots,a_n,\cdots\)和\(b_1,\cdots, b_n,\cdots\)共两组元素？可以简单地分成奇偶，奇数用于表示\(a_i\)，偶数用于表示\(b_i\)。（这形式上可以用\(2\aleph_0=\aleph_0\)表达）
哥德尔编码可以形式上用\((2\aleph _0^2+2\aleph_0 +6)^1 + (2\aleph _0^2+2\aleph_0 +6)^2+\cdots=\aleph_0\)表达。
辖域和替换
- Q: 尝试解释\(\forall x (A(x)\wedge \forall x B(x)\wedge \forall y C(y) \wedge \forall y D(y))\)中的变元名。
A: 提示：对于上面的\(x\)可以类比程序设计中内层变量遮蔽（Shadow）外层同名变量。
当然，正如程序设计中一样，这种遮蔽有时会造成困扰。往往并不是最规范的写法。比如积分\(\int_0^1x\int_0^1xdx\cdot dx\)也造成了相同的困扰。
然而问题中的\(y\)相对来说，就比较合理，比如\(\int_0^1xdx+\int_0^2xdx\)或者
for i in range(10):
print(i)
for i in range(15):
print(i+1)
都和问题中的\(y\)类似，是比较合理的写法。
- Q: 约束出现就是不自由出现吗？
A: 详细地说，我们一般用“不自由出现”表示每次出现都不自由。“约束出现”表示至少一次出现约束（不自由）。
当然这只是人为约定。自己注意术语含义即可。 - Q: 项替换的归纳定义中，归纳起点是什么？
A: 命题变元。（具体地，对于\(s(x_i/t)\)，其中\(s\)就是某个命题变元\(x_j\)，此处的项替换把命题变元\(x_i\)变为\(t\)，把\(x_j,j\neq i\)不变） - Q: 针对“项对公式中的变元是自由的”，我们是想用什么替换什么中的什么？
A: 想用项替换公式中的变元。更详细地，是替换自由变元。你不可能把\(\forall x\)里的\(x\)给替换掉。
我们马上得到：若\(\mathscr A\)不含\(x_i\)的自由出现，那么任何项对\(\mathscr A\)中\(x_i\)都是自由的。 - Q: 举一个（自然语言的）实际例子说明“项对公式中的变元不自由”时强行做公式的项替换引起混乱。
A: 例如：存在一个国家甲，乙国人和丙国人的混血是甲国国王。乙和丙都是自由出现的（自由变元）。这个句子不能判定真假。只有将乙和丙指定了才能判定真假。
如果强行变成存在一个国家甲，乙国人和甲国人的混血是甲国国王，那么语义发生了根本变化。此时再把乙指定了，就可以判定真假。
相比之下，一个正常的替换可以形如：存在一个国家甲，使得联合国排序中排行第丁的国家人和丙国人的混血是甲国国王。可以认为，这样的语义没有发生某种所谓的“根本变化”。注意此时仍然是指定丁和丙才能确定命题真假。
当然我们还可以举出更有趣的例子：比如存在乙，乙舔到过甲的眼睛。如果把甲直接换成乙…… - Q: \(x_i\)出现在\(\forall x_i\)的辖域中时是（）的变元。联系项对公式中变元自由的定义（替换后项中的任意变元都不出现在对应量词\(\forall\)的辖域中），上述事实说明了项\(x_i\)（或项\(f(x_i),g(x_i,x_i)\)……等等）对任何公式\(\mathscr A\)中的变元（）一定是自由的。
A: 约束，\(x_i\). - Q: 公式中项替换的归纳定义中，归纳起点是什么？这和项替换的归纳定义有什么区别和联系？
A: 原子\(A_j^n(s_1,\cdots, s_n)\). 定义公式中项替换的归纳起点需要先定义项替换，明确\(s_k(x_i/t)\)的含义。
变元是项的“起点”，原子是公式的“起点”。项是原子的组成部分，从这个角度讲项比公式基本。先有项替换再有公式中项替换。 - Q: 题3.和4.和公式中项替换归纳定义中关于\(\forall x_j\)的部分有何联系？
A: 如果要替换的变元就是\(x_j\)，那么\(x_j\)没有自由出现过，无需做替换。
如果要替换的变元是\(x_i,i\ne j\)，已知\(x_i\)在\(\mathscr A\)（就是\(\forall x_j \mathscr B\)）中自由出现过，从而在\(\mathscr B\)中自由出现过，那么根据\(t\)在\(\mathscr A\)中关于\(x_i\)自由，则用\(t\)替换\(\mathscr A\)中\(x_i\)的处处自由出现（也是\(\mathscr B\)中\(x_i\)的处处自由出现）不产生混乱。这样一来定义\(\mathscr A(x_i/t)=\forall x_j \mathscr B(x_i/t)\)是合理的。
换名替换
- Q: 换名替换之后，被换的变元名一定不存在了吗？
A: 不一定。注意\(\mathscr A(x_i/x_j)\)中可能仍然有\(x_i\)（没有换掉那些约束变元\(x_i\)）。 - Q: 变元换名是为了方便在什么情况下做公式中项替换？
A: 提示：项\(t\)对公式\(\mathscr A\)中变元\(x_i\)不自由（比如说\(t\)中出现了\(x_j\)，而\(\mathscr A\)中存在\(\forall x_j A(x_i)\)结构）时，我们把\(\forall x_j \mathscr B\)中所有\(x_j\)换一个名字，比如变成\(\forall x_k\mathscr B(x_j/x_k)\). 通过一系列这种操作可以使得项\(t\)对公式\(\mathscr A\)中变元\(x_i\)的替换变得安全。 - Q: 对\(\forall x_i \mathscr A\)中变元\(x_i\)换名成\(x_j\)的条件：\(x_j\)不在\(\mathscr A\)中自由出现，且\(x_j\)在\(\mathscr A\)中对\(x_i\)自由。为什么缺一不可？
A: 如果\(x_j\)在\(\mathscr A\)中自由出现，则把\(\forall x_i\)替换成\(\forall x_j\)后，\(x_j\)是约束变元，这不是我们希望的语义变化。如果\(x_j\)在\(\mathscr A\)中对\(x_i\)不自由，那么\(\mathscr A(x_i/x_j)\)部分就出现了我们不期望的语义变化，就更不必说\(\forall x_i \mathscr A\)整体了。总之，一个是防止\(\forall \cdots\)处换名导致混乱，一个是防止\(\mathscr A\)处换名导致混乱！
注：原来的两个不同命题变元变成了相同（名称）的命题变元未必就会造成不良后果。例如\(\forall y(A(y)\to\forall wB(x,z))\)，把\(y\)换成\(w\)是可以的。注意这时\(w\)没有在\(A(y)\to\forall wB(x,z)\)中自由出现，且\(w\)在\(A(y)\to\forall wB(x,z)\)中对\(y\)自由。
注：两个条件显然互不蕴涵。
注：\(x_j\)在\(\mathscr A\)中对\(x_i\)自由的一个充分条件是\(x_j\)不在\(\mathscr A\)中约束出现。因此这两条条件的一个充分条件是\(x_j\)不在\(\mathscr A\)中出现。也就是换名直接换一个全新的变元名。 - Q: 把2.中两条条件中\(\mathscr A\)改成\(\forall x_i \mathscr A\)这个整体，如何？
A: 提示：\(x_j\)对\(\forall x_i \mathscr A\)中的\(x_i\)自由，这是平凡的。你不能因为前述事实就认为\(\mathscr A(x_i/x_j)\)合理，只能认为\((\forall x_i\mathscr A)(x_i/x_j)\)合理（啥也没换） - Q: 如果\(\mathscr B\)就是\(\forall x_i \mathscr A\)，那么\(\mathscr B(x_i/x_j)\)就是\(\forall x_j\mathscr A(x_i/x_j)\)嘛？
A: 回忆公式中项替换的定义，\(\mathscr B(x_i/x_j)\)中\(x_i\)并未自由出现，因此替换结果就是\(\mathscr B\).
\(\forall x_j\mathscr A(x_i/x_j)\)应当是换名替换的结果，而不是公式中项替换\(\mathscr B(x_i/x_j)\)结果。 - Q: 接0.，既然被换的变元名仍然可能存在，我们如何论证换名替换是可逆的？
A:
- 首先：把\(\forall x_i \mathscr A\)换名替换成\(\forall x_j\mathscr A(x_i/x_j)\)，则留下的那些\(x_i\)一定是在\(\mathscr A\)中约束出现的。
- 其次：由于初始时，\(x_j\)不在\(\mathscr A\)中自由出现，因此\(\mathscr A(x_i/x_j)\)中的那些\(x_j\)要不然原本在\(\mathscr A\)中就约束出现，要不然就是\(\mathscr A\)中自由的\(x_i\)换成的（即：这些\(x_i\)在\(\mathscr A\)中，外层没有\(\forall x_i\). 当然\(\mathscr A\)之外确实原本有一个\(\forall x_i\)）。
为了验证\(x_i\)在\(\mathscr A(x_i/x_j)\)中对\(x_j\)自由，我们关注到第一种\(x_j\)无需在\(\mathscr A(x_i/x_j)(x_j/x_i)\)中换成\(x_i\)，而第二种\(x_j\)由于外层没有\(\forall x_i\)也就自然不会在换成\(x_i\)时造成麻烦。
