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2 命题逻辑：语法
2.1 形式系统
形式系统间的关系
- Q:
(L1)\(\mathscr A\to(\mathscr B \to \mathscr A)\)
(L2)\((\mathscr A \to(\mathscr B \to\mathscr C))\to((\mathscr A \to\mathscr B)\to(\mathscr A \to \mathscr C))\)
(L3)\((\sim \mathscr A \to \sim \mathscr B)\to(\mathscr B\to\mathscr A)\)
(L4)\((\sim \mathscr A\to\sim\mathscr B)\to((\sim \mathscr A \to \mathscr B)\to\mathscr A)\)
我们想证明(L1)(L2)(L3)构成的公理系统和(L1)(L2)(L4)组成的公理系统等价。（注：前者称为Łukasiewicz's Third axiom system. 后者称为Mendelson's axiom system.）
由(L1)(L2)(L3)证明(L4). 由演绎定理我们知道只需证明已知（）时能推出\(\mathscr A\)，而这只需（）。
A:
L1,L2,L3,\(\sim \mathscr A \to \sim\mathscr B\),\(\sim \mathscr A \to \mathscr B\)
已知以上条件时，显然\(\sim \mathscr A\vdash \sim \mathscr B\)且\(\sim \mathscr A \vdash \mathscr B\). 再回忆：已知L1,L2,L3时有\(\mathscr B,\sim \mathscr B\vdash \mathscr A\)，就立刻知道已知L1,L2,L3,\(\sim \mathscr A \to \sim\mathscr B\),\(\sim \mathscr A \to \mathscr B,\sim \mathscr A\)时可推出\(\mathscr A\). 最后回忆\(\sim \mathscr A\to \mathscr A\vdash \mathscr A\)即可。
- Q: 接上，如何证明另一方向？
A: 只需要证明已知L1,L2,L4,\(\sim \mathscr A\to\sim \mathscr B,\mathscr B\)时能推出\(\mathscr A\). 而这只需注意\(\mathscr B\to(\sim\mathscr A\to\mathscr B)\)即可。
- Q: 为了证明公理（模式）L1,L2,L3每一条都是独立的，我们的思路是构造某种性质，使得一切L2,L3通过替换得到的公式都（），且若\(\mathscr A,\mathscr A\to \mathscr B\)都具有该性质，则（）。但（）不具有该性质。这就可以说明通过公理模式（）和推理规则（）一定无法得到L1.
A: 具有该性质，\(\mathscr B\)具有该性质，L1替换的（至少一条）公式，L2,L3，MP.
- Q: 接上，\(\sim\)作为一元运算符，对于二值逻辑可能有（）种具体的含义。\(\to\)作为二元运算符，对于二值逻辑可能有（）种具体的含义。如果针对每个公式指派真值0或1，且之前2.中所述“某种性质”指真值为1，那么在二值逻辑的框架内是否可能为\(\sim,\to\)指定某种具体的含义（即某个具体的真值表或布尔函数），用2.的方法作出L1独立性的证明？为什么？
A: 4，16.
回忆：形式系统中的运算符的含义是未事先指定的。我们可以给\(\sim,\to\)指定任何满足公理模式和推理规则的真值表。
以下用等号表达真值表的取值。例如\(\sim 1=a\)表示真值表中对1做\(\sim\)运算得到\(a\)，\(a\)是0或1. 我们希望L2,L3替换的公式都为1，且MP规则能保持1. 但是L1替换的公式不一定为1.
设\(\sim 1=a,\sim 0=b,1\to1=c,1\to0=d,0\to1=e,0\to0=f\)，则首先\(d=0\)，否则当\(\mathscr A\)和\(\mathscr A\to \mathscr B\)都为1时，不能推出\(\mathscr B\)为1.
此时若\(c=0\)，则对任意指派了1的公式\(\mathscr A\)，有\(\mathscr A\to\mathscr B\)为0. 所以为了L3成立，L3的前件必须恒为0，则必须有对任意\(\mathscr A,\mathscr B\)的指派都有\(\mathscr A\to\mathscr B\)为0，这又和L3成立矛盾了。故\(c=1\).
此时若\(a=b\)，则L3相当于\((a\to a)\to 0\)和\((a\to a)\to 1\)都为1. \(c,d\)不都为1，则要求\(a\to a=0,e=f=1\)（这样\((a\to a)\to 1\)和\((a\to a)\to 0\)分别对应\(e,f\)）此时\(a=1\)则\(a\to a=c=1\)，\(a=0\)则\(a\to a=f=1\)，矛盾。故\(a\ne b\)
若\(a=1,b=0\)则\(\sim\mathscr A\)和\(\mathscr A\)总是取相同的值，由L3，立得\(c\to c=f\to f=d\to e=e\to d=1\). 代入\(c=1,d=0\)，此时一旦\(e=1\)则\(1\to 0=1\)矛盾。故\(e=0\)，则\(f=1\)，\(\to\)就是“异或”运算即模2加法，这显然和L2矛盾。
综上，\(\sim\)就是否定运算即\(a=0,b=1\)，且\(c=1,d=0\).
此时，根据L3得\(d\to d=e\to e=c\to f=f\to c=1\)，则\(f=1\). 回忆之前论证我们知道\(e=0\)则又回到了“异或”。而\(e=1\)时L1又恒成立了。
综上，任何二值真值表都不可能利用2.的方法作出L1独立性的证明。
注：实际上，我们可以构造某个三值真值表作出该独立性证明。具体的真值表构造略。
注：实际上，Łukasiewicz's Third axiom system的三条公理模式每一条拿出来都是独立的。
2.2 完全性定理
可靠性定理
- Q: 对于定义域是\(L\)中公式，值域是\(\{0,1\}\)的函数\(v\)，要求它是“赋值”还需要\(v(\mathscr A)\ne v(\sim \mathscr A)\)以及（）。如何理解这两条要求和“真值表”的关系？
A: \(v(\mathscr A\to\mathscr B)=0\)当且仅当\(v(\mathscr A)=1\)且\(v(\mathscr B)=0\).
\(\sim\)的“真值表”的含义是\(\sim \mathscr A\)和\(\mathscr A\)具体是什么公式无关，只和\(v(\mathscr A)\)有关，并且\(v(\sim \mathscr A) \ne v( \mathscr A)\). \(\to\)的真值表含义也以此类推。所以说“赋值”的两条要求实际上和\(\sim,\to\)的真值表表达了相同的意思。
- Q: 如何理解重言式的记号\(\models\mathscr A\)？
A: \(v\models \mathscr A\)表示赋值\(v\)作为定义在\(L\)中公式集上的函数有\(v(\mathscr A)=1\)，而\(\Gamma\models \mathscr A\)表示一切使得\(\Gamma\)中公式函数值都为1的\(v\)也能使得\(\mathscr A\)函数值为1. 当\(\Gamma\)为空集时，\(\Gamma\models \mathscr A\)或称\(\models \mathscr A\)就意为对一切赋值\(v\)都有\(v\models \mathscr A\).
- Q: 如何理解“重言式对于命题语言是不变的”？
A: 对于两个不同的命题语言（如：其中字符集不同），如果某公式在一个语言中有使得其非真的赋值，则将该赋值的定义域扩展到两合式公式集并集，新的赋值使得该公式在另一个语言中也非真。
- Q: 可靠性和完全性分别是什么？你认为这两个名称是如何得名的？说“定理都是重言式”相当于认为形式系统\(L\)具有什么性质？
A: 对于命题语言\(\mathscr L_0\)上命题演算（形式系统）\(L\)，我们通过一组公理模式和一条推理规则定义了\(\Gamma \vdash \mathscr A\). 回忆我们通过“赋值”（满足特定条件的函数）定义了\(\Gamma \models \mathscr A\).
则：\(\Gamma \vdash \mathscr A\Rightarrow\Gamma\models \mathscr A\)指可靠性（soundness）。字面意思就是说形式推理推出的结果在结合任何可能的实际语义（赋值）后确实是对的。\(\Gamma \models \mathscr A\Rightarrow\Gamma\vdash \mathscr A\)指完全性（completeness）。字面意思就是形式推理一定能推出一切实际上恒真的结果。
可靠性。
- Q: 通过数学归纳法证明“定理都是重言式”的起点是（）。这时形式系统中的记号\(\sim,\to\)的含义还能是任意的吗？为什么？
A: 公理都是重言式。不能。因为“赋值”的定义对\(\sim,\to\)的的具体含义（真值表）做出了要求。
扩充、一致性定理
- Q: 如何理解“\(L\)的一个扩充可能和\(L\)没有公共的公理”？
A: 扩充只需要定理仍是定理，但不需要公理仍是公理。极端地，之前的所有公理可能在扩充后的系统中都不是公理，但都是定理，即都是被新的公理演绎得到的！
- Q: 证明L是一致的（一致性定理）与证明L中公理的独立性有什么异同？
A: 同：都需要针对形式系统\(L\)中的符号指定具体的含义（真值表）从而用具体含义的性质做出论证。
更具体地：用的都可以理解成“反证”，也就是说如果形式系统\(L\)具备某性质，则对于一切\(\sim,\to\)可能的具体含义都必须如此。如果实际中有任何一种具体含义不如此，那就矛盾了。比如说不一致要求\(L\)中能演绎出\(\mathscr B,\sim\mathscr B\)，但我们发现当\(\sim,\to\)表示某种具体含义（即平常所运用的含义）时，就绝不可能演绎出它们。
异：证明\(L\)是一致的用的是二值逻辑，且\(\sim\)就是否定运算，\(\to\)的含义是若……则……，这都符合平常的用法。而考察公理独立性必须用三值逻辑，并人为构造\(\sim,\to\)的真值表，这些真值表具体意义并不十分明确。
注：形式系统的可靠性和完全性和具体语义有关；一致性、平凡性和单调性和具体语义无关。但证明一致性又需要具体语义。
- Q: 如何理解“\(L\)的不一致扩充没有实际价值”？
A: 实际上容易证明\(L\)的不一致扩充等价于一切公式都是扩充后系统\(L^*\)的定理。这在实际的数学中就用处不大了。
- Q: \(L^*\)是\(L\)的一致扩充，\(\mathscr A\)是\(L\)的公式且不是\(L^*\)的定理，则\(L^*\)补充（）为公理后的\(L^{**}\)一定是一致的。此处\(\mathscr A\)不是\(L^*\)的定理就是说\(L^*\)不完全吗？
A: \(\sim \mathscr A\). 不是，因为\(\mathscr A\)不是\(L^*\)的定理可能有两种含义，即或者\(\mathscr A\)和\(\sim\mathscr A\)都不是定理，或者\(\sim \mathscr A\)是定理但\(\mathscr A\)不是。而后者的情况下添加\(\sim \mathscr A\)是添加了不独立的公理。这种情况不能说明\(L^*\)一定不完全。
- Q: 为了证明3.，我们只需反设（）不一致则\(\vdash_{\{\}}\mathscr B\)且\(\vdash_{\{\}}\sim\mathscr B\)，此时根据演绎定理和之前的一些引理有\(\sim\mathscr A\vdash_{\{\}}\mathscr A\). 再根据\(\vdash_L(\sim\mathscr A\to\mathscr A)\to\mathscr A\)就有（），矛盾。（大括号中填写适当的形式系统）
A: \(L^{**}\)，\(L^{**}\)，\(L^{**}\)，\(L^*\)，\(\vdash_{L^*}\mathscr A\).
完全扩充、完全性定理
- Q: 扩充是否完全和形式系统完全性含义有何异同？
A: 前者是定理集合是否和每个\(\{\mathscr A,\sim \mathscr A\}\)交非空。后者是定理集合是否包含了重言式集合。两者都是对定理集合提出要求（不能太小）。注：完全不一定一致。
前者和语义没有关系，后者和语义有关系。
回忆：扩充的一致性也和语义没有关系。
- Q: 一致完全扩充和“极大”有何关系？
A: 如果\(L^c\)是\(L\)的一致完全扩充，则显然任意\(L^c\)的扩充只要引入了新的定理那就不一致。反之，如果\(L^*\)不是\(L\)的完全扩充，但是是一致的，那么根据上一节的3.就知道：\(L^*\)可以再加入新的公理，即增加新的定理。
- Q: 为了证明任何\(L\)的一致扩充\(L^*\)都有一致完全扩充\(L^c\)，我们需要一个可数的扩充序列。这个序列的构造和数学中什么事物可以类比？
A: 举例：
可数个集合\(A_1,\cdots,A_n,\cdots\)的并集\(B\)中的元素\(b\)满足：存在\(i\)使得\(b\in A_i\).
如果\(A_j\subset A_{j+1}\)就和我们现在的场景很像：即任意两个\(b_1,b_2\in B\)都\(\exists i,s.t. b_1\in A_i,b_2\in A_i\).
- Q: 2.中的事实对于构造赋值\(v\)有什么帮助？
A: 由于我们得到了一致完全扩充\(L^c\)，所以
根据完全：
\(v(\mathscr A)=1\)当\(\vdash_{L^c} \mathscr A\)
\(v(\mathscr A)=0\)当\(\vdash_{L^c}\sim\mathscr A\)
一定能对一切\(L\)中公式定义出其函数值。
根据一致：
上述方法定义的\(v\)一定满足\(v(\mathscr A)\ne v(\sim\mathscr A)\).
为了说明\(v\)确实是赋值，只需要证明\(v(\mathscr A\to\mathscr B)=0\)当且仅当\(v(\mathscr A)=1,v(\mathscr B)=0\)即可。
- Q: 接上，如何说明最后一段的结论？如果左边不成立，即\(v(\mathscr A\to\mathscr B)=1\)，那么直接用（）即可说明（）时绝不可能有\(v(\mathscr B)=0\).
而如果\(v(\mathscr A)=0\)那么根据\(v\)的定义有\(\vdash_{L^c}\sim\mathscr A\)，用（）（公理模式）和（）（公理模式）得到\(\vdash_{L^c}\mathscr A\to\mathscr B\).
如果\(v(\mathscr B)=1\)那么显然也有（）。
A: MP，\(v(\mathscr A)=1\)，L1，L3，\(\vdash_{L^c}\mathscr A\to\mathscr B\)
注：推论：任何\(L^*\)中定理的否定不是重言式。
- Q: 接上，如何证明完全性定理？
A: 对于任何公式\(\mathscr A\)，如果不是\(L\)中定理，那么\(\sim \mathscr A\)可以被添加成公理，得到一致扩充\(L^*\)，而\(L^*\)中定理\(\sim\mathscr A\)的否定即\(\mathscr A\)因此不是重言式。总之：不是定理则不是重言式。
注：可靠与完全性定理：\(L\)中定理等价于重言式。
注：判定公式是否是重言式可以直接构造真值表，这也就成为了判定\(L\)中定理的方法。特别注意“定理”和具体语义无关，但真值表和语义有关。
命题逻辑附录
- Q: 逻辑门的通用集和连接符的完备集有何联系？
A: 仅仅是连接符的完备集相关的门（如仅仅有“与非门”）不能构成逻辑门的通用集。但加上“复制门”即可。
- Q: 完全性定理的Kalmár证法：首先断言若\(\mathscr A\)是一个公式，\(p_1,\cdots,p_n\)是其中所有变元，给定赋值\(v\)，令\(p_i'=p_i(当v(p_i)=1)\)否则\(p'_i=\sim p_i\). 令\(\mathscr A'=\mathscr A(当v(\mathscr A)=1)\)否则（），则（）\(\vdash\)（）。其中可以使用引理
\(\mathscr A\to\sim\sim\mathscr A\)
\(\sim \mathscr A\to(\mathscr A\to\mathscr B)\)
\(\mathscr A,\sim\mathscr B\vdash\sim(\mathscr A\to\mathscr B)\)
\((\mathscr A\to\mathscr B)\to((\sim \mathscr A\to\mathscr B)\to\mathscr B)\)
请证明最后一条引理。
A: \(\mathscr A'=\sim \mathscr A\)，\(p'_1,\cdots,p'_n\)，\(\mathscr A'\).
提示：根据演绎定理和L3显然只需证明\(\sim\mathscr B\to\sim \mathscr A,\sim \mathscr B\to\mathscr A\vdash \mathscr B\)，而回忆\(\sim \mathscr B\to\mathscr B\vdash\mathscr B\)我们显然只需证明\(\sim\mathscr B\to\sim \mathscr A,\sim \mathscr B\to\mathscr A,\sim\mathscr B\vdash \mathscr B\).
- Q: 接上，如何证明1.中的断言？
A: 除去一些平凡情况，再利用引理转化，知道只需讨论\(\mathscr A\)为\(\mathscr A_1\to \mathscr A_2\)或者\(\sim(\mathscr A_1\to \mathscr A_2)\)的情况。而根据归纳假设，我们能证明出\(\sim \mathscr A_1\)或\(\mathscr A_1\)，且能证明出\(\sim \mathscr A_2\)或\(\mathscr A_2\). 分四类讨论即可。
- Q: 我们发现2.中并未用到1.的最后一条引理。实际上，1.的最后一条引理用在了完全性定理证明的什么地方？
A: 假设\(\mathscr A\)是重言式，那么回忆1.的断言，我们知道对于一切赋值\(v\)都有\(p_1',\cdots,p_n'\vdash\mathscr A\). 注意到\(p_n'\)根据赋值\(v\)的不同可以取\(p_n\)或\(\sim p_n\)，我们就知道\(p_1',\cdots,p_{n-1}'\vdash p_n\to\mathscr A\)，\(p_1',\cdots,p_{n-1}'\vdash\sim p_n\to\mathscr A\). 这时再用1.中最后一条引理马上得到\(p_1',\cdots,p_{n-1}'\vdash \mathscr A\).
重复归纳下去即可。
注：该证法较简单，缺点是难以扩展到更复杂的系统。
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