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5 冲激函数——\(\delta\)函数
5.1 冲激函数——\(\delta\)函数的定义和频谱
- Q: 如何理解“\(\delta(t)=+\infty, t=0;\delta(t)=0,t\ne 0\)和\(\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)dt\)只反映了\(\delta\)函数的两个特点，我们需要从\(\delta\)函数与其他函数的关系中了解\(\delta\)函数”？
A: \(\delta\)函数反映了某种工程中“结果导向”的思想。不管你具体结构，只要你“筛选性质”（和其他函数作用时特定关系）成立，就称为\(\delta\)函数。“筛选性质”是其核心之义，而那两个特点只是自然推论。
比如：和\(e^{-i2\pi ft}\)作用时筛选性质成立，就决定了频谱。
- Q: 用频谱证明函数列极限是冲激函数怎么做？
A: 提示：1和\(\delta\)是傅里叶变换对。实际上相当于证明频谱极限为常数1
更详细地，只需要证明\(lim_{\lambda\to\beta}\int_{-\infty}^{+\infty}G_\lambda(-f)\Phi(f)df=\phi(0)\)这样“和试验函数作用的极限”即可。（即：在试验函数“看来”频谱极限为常数1）
- Q: 背诵\(cos2\pi f_0 t\)的频谱。
A: 提示：\(e^{i2\pi f_0 t}\)就是“单频”，也就是\(\delta(f-f_0)\)，则\(cos2\pi f_0 t\)频谱当然就是\(\frac 12(\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0))\)
- Q: 用时域微分考察\(sgnt\).
A: \(sgnt\)频谱\(1/i\pi f\)，\(2\delta(t)\)频谱就是\(1/i\pi f\cdot 2i\pi f=2\).
注：若微分后频谱\(S(f)\)不包含\(\delta(t)\)成分，那么\(S(f)/2i\pi f\)也不包含。故\(S(f)/2i\pi f\)一定唯一对应频谱无\(\delta(t)\)成分的那个积分结果，例如此处\(sgnt\)。（即：指定积分常数，避免不唯一性）
注：课本方法是利用\(sinx/x\)或说\(e^{ix}/x\)的积分，直接计算\(1/f\)的傅里叶变换对。
- Q: 试验函数和针对广义函数的运算有何联系？
A: 广义函数是基本空间\(\mathscr D\)上的线性连续泛函，基本空间上试验函数性质很好。故对广义函数的一些运算转移到试验函数上。
（即：可以不“显式知道”计算结果，只需要知道计算结果和试验函数间如何作用即可。如对广义函数求导，只需知道形式记号\(\delta'(t)\)在和试验函数作用时有何结果即可）
- Q: 接上，对广义函数求导举例说明。
A: \(\langle f', \phi\rangle=-\langle f,\phi' \rangle\)，其实是分部积分法，并利用试验函数在有限区间之外都为0的性质。
注：实际应用中，即使对不紧支撑在有限区间上的函数\(f\)也可以使用类似的性质。因为我们可以考察与\(f\)在有限区间内相等的试验函数\(f^*\)，然后论证\(f\)和\(f^*\)应当“无差别”。此具体论证的方法提示：可数个0相加仍为0.
5.2 \(\delta\)函数的微商
- Q: \(\delta\)函数微商的频谱有何作用？
A: 例：对于多项式、多项式乘以三角函数等可以快速给出傅里叶变换对。
- Q: 如何求\(\delta\)函数微商和普通的连续函数的乘积？
A: 根据定义计算：\(\int \beta \delta^{(k)}\phi dt = (-1)^k(\beta\phi)^{(k)}=\cdots(乘积求导，莱布尼兹公式)\)，再把结果写成各个\((-1)^k \phi^{(k)}\)的线性组合。
最后结果显然只和函数\(\beta\)的局部相关。
5.3 用\(\delta\)函数求函数的微商和频谱
- Q: 单位阶跃函数的微商和上节有何联系？
A: 可以由微积分基本定理直观直接看出结果：\(u'(t)=\delta(t)\).
也可以用上节\(\langle u', \phi\rangle=-\langle u,\phi'\rangle\)看出。
- Q: 用\(\delta\)函数表示间断函数的微商时，如何理解公式\(g^{(k)}(t)=\sum_{l=0}^{k-1}(g^{(l)}(t_0+)-g^{(l)}(t_0-))\delta^{(k-l)}(t-t_0)+u(t_0-t)g_1^{(k)}(t)+u(t-t_0)g_2^{(k)}(t)\)对于\(t_0\)是\(g^{(k)}(t)\)连续点时仍成立？
A: 根据微积分基本定理，若\(t_0\)是\(g^{(k)}(t)\)连续点，则也是上式中\(g^{(l)}(t)\)连续点，则第一项为0.
注：此处出现\(0\delta(t)=0\)并不是所谓“\(0\cdot \infty\)不定式”，类似地\(2\delta(t)\)也不能“\(2\cdot \infty = \infty\)”.
请回忆广义函数定义。注意\(f(t)=1,t=0;f(t)=0,f\ne 0\)和\(f(t)\equiv 0\)处于同一等价类。
第二、三项中，\(g_1=g_2\)，只需保证\(u(t_0-t)+u(t-t_0)\equiv 1\)即可，而这显然成立（此处看到定义\(u(0)=1/2\)是有理由的）
- Q: 用\(\delta\)函数求频谱时，如何克服积分导致的不唯一性问题？（回忆5.1节题3.）
A: 只要确保做微分前后频谱不含\(\delta(t)\)成分即可。比如\(sgn\).
再比如：对于\(k\)次微分，有限区域外全为0的函数微分前后频谱不含\(\delta(t),\delta'(t),\cdots,\delta^{(k-1)}(t)\)成分
（直接用\(\int\int x(t)e^{-i2\pi ft}dt\cdot \Phi(f) df=0\)即可说明这点。其中\(\Phi(f)\)是只有0附近有非零\(m\)阶导数而大部分地方为0的函数。如果\(x(t)\)里有\(\delta^{(m)}\)的成分，那么这个积分肯定能提出\(\Phi\)的相应导数值，导致积分结果不为零）
（\(x(t)\)在0处间断，或者有\(\delta(t)\)，都不影响。只有\(x(t)\)出现了非零的多项式成分\(c_0+c_1t\)等等才影响）
这就说明可以把\(\delta\)函数和其微商线性组合的频谱\(S(f)\)直接除以\((i2\pi f)^m\)得到结果，如同课本例1.
习题
- Q: 用\(\delta\)函数求\(g(t)=t,0\le t\le 1;g(t)=0,otherwise\)时，求一阶导得到了“方波”吗？
A: 否，注意有间断点，求导得到（负的）\(\delta\)函数
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