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6 Some incomplete constraint solvers

6.4 Linear constraints on integer intervals

  1. Q: 本节中的linear expression为什么不需要乘法运算？
    A: 由于只考察整数和“整数倍”，故用不断复合加法表示乘法。

6.4.1 - 6.4.2

  1. Q: “By combining the corresponding domain reduction rules for these two inequality constraints we obtain a domain reduction rule for an equality constraint.”是否形如\([a..b]\cap [b..c]=\{b\}\)？
    A: 不对。提示：\(\ge,\le\)两条中，一个对正系数对应变量取上界，对负系数对应变量取下界；另一个反之。所以两个区间有长度非零的重合区间。
  2. Q: 这两节中，唯一一处出现除法但没有取整运算的规则是什么？提示：等号，一个变量。
    A: \(ax=b\)时，可以直接看\(b/a\)是否在定义域中，从而直接给出\(x\)取值或者得到fail.

6.4.3 - 6.4.6

  1. Q: 如何处理严格不等式？
    A: \(s< t\)等价于\(s\le t, s\ne t\).
  2. Q: “an arbitrary element can be removed from a domain, not only the ‘boundary’ one”描述的是什么？
    A: finite domains相比intervals所具有的优势：在处理\(x\ne a\)时，可以直接从\(D_x\)中删去一个元素。（无论是否在边界）
  3. Q: 处理SEND+MORE=MONEY时，\([2..8]\)从何而来？
    A: 显然\(M=1,S=9,O=0\)，此时可以直接排除掉位于\([0..9]\)边界的三个数。
  4. Q: 接上，直观上看，为什么\(E,N\)被剪得多，\(D,R,Y\)被剪得少？
    A: 提示：\(E,N\)分别是等式左右两边系数最大的未确定数值的变量。“没人帮它们顶着”。
  5. Q: 解说“The other eighteen simple disequality constraints are solved.”
    A: 原本\(C_8^2=28\)，确定三个数\(S,M,O\)，且它们恰好取的都是靠边的值，所以可以直接在另外五个变量的定义域中删去\(0,1,9\)，于是现在只需要\(C_5^2\)个disequality. 其余18条已经多余，所以可以删除了。

6.4.7 - 6.4.8

  1. Q: LINEAR EQUALITY等规则没有考虑涉及“整除性”的东西，所以得到的显然比hyper arc consistency弱。那么本节加强的interval consistent和bound consistent哪个考察了整除性从而更强呢？
    A: 对整数CSP的interval consistent.
    注意：根据定义，整数CSP的bound consistent是某实数CSP的interval consistent.
  2. Q: 凸性和hyper-arc consistent有何联系？
    A: 对于实数CSP，由于解集是凸集，故仅通过控制上下界即可到达hyper-arc consistent（相比之下，整数CSP有整除问题所以麻烦得多）
    （注：对于等式和不等式，都可以通过控制上下界到达实数CSP的hyper-arc consistent）

6.5 Arithmetic constraints on integer intervals

6.5.1 - 6.5.3

  1. Q: 简要描述在涉及一般的Arithmetic constraints时剪定义域的一些典型困难。
    A: （合理即可）
    没有显式表示（根式解）导致\(x\le f(x,y,z)\)，右侧不能去除\(x\). 从而导致难剪（\(x\)本来定义域就很大的话，\(f(\cdot)\)值域还是很大）
    涉及0以及和0相关的分类讨论。（偶数次幂）
    涉及分母相关的分类讨论。（如\(xy\le z\)）
    表达式范围太大导致剪不了。
  2. Q: 引入辅助变量为什么有助于剪定义域？提示：新增分类标准。
    A: 除了对original variables定义域二分，还可以对辅助变量定义域二分。（多了一些分类标准，使得分类不一定只能“正交”着进行）
  3. Q: 解说“To estimate the right-hand side we now need a double case analysis on x and z. This leads to nine cases”
    A: 分别考虑0与定义域关系，3*3=9（凡是偶数次幂显然都要作此讨论）
  4. Q: 多项式中无非就是加法和乘法，所以可以把一般的约束变成线性约束或者（）。为了解决复杂的分类讨论，为什么按此方法引入许多辅助变量会有帮助？
    A: \(xy=z\)（思考：此处为什么没有必要引入一般的6种运算符？）
    提示：拆成许多子过程，每个子过程分类都不是很多（比如为定值2），总的（能表达的）类数与子过程的个数就成指数关系（例如\(2^n\)）。
  5. Q: 解说“The problem of an appropriate characterisation of the MULTIPLICATION rules remains then open.”
    A: 现在由于对非凸集（如区间相除结果）取了凸包，所以这方法现在也不行了。
    这个问题是arithmetic特有的。因为linear处不涉及对非凸集合取凸包。

6.5.4 - 6.5.5

  1. Q: 说明implementation时区间除法需要的特别处理。
    A: 由于涉及0，故需要进行许多分类讨论。
    即使确认不涉及0，由于可能得到非整数（以及整除问题），故最终也不妨进一步（分别从小到大和从大到小）枚举讨论确定更精准的剪枝结果。
  2. Q: 引入更多变量（）（填“升高”或“降低”，下同）耦合程度，从而（）了剪定义域能力，比如\(x^3\le 1000, x\in [1..1000]\).
    把区间改成一般的有限集（）了语言的表达能力，（）了剪定义域能力，但（）了分类讨论难度，（）了效率。
    A: 降低，降低，升高，升高，升高，降低。

6.6 Arithmetic constraints on reals

6.6.1 - 6.6.3

  1. Q: 实数相比整数多了开闭区间的问题。为什么要引入\(\langle \rangle\)记号？
    A: 便于处理关于无穷的问题（涉及无穷时始终挖去，但有限时始终表示含端点值）
    注：为什么不直接全部用开区间表示？因为此时不便于表示单元素集。
  2. Q: 由于实数区间相比整数区间来说多了凸性，所以实数区间四则运算造成非凸的可能性只有（）。
    A: 除数区间包含0
    注：当然，还有可能“挖掉边界的0”，这不影响凸性，但影响开闭。我们定义\(int(\cdot)\)运算结果是凸包的闭包。
  3. Q: 相比整数情况，实数情况可以使用（）这类区间，因此容易将（）转化为等式和\(\ne\).
    A: \(\langle -\infty,0\rangle\)，\(>,<,\ge,\le\)
  4. Q: 由于非凸性仍存在，所以（）consistency和整数情况类似进行论证，也不适用于实数。
    A: interval
  5. Q: 添加\(+\infty,-\infty\)的实数集的算术运算中，无定义的情况分为（）和（）两种。为什么不认为\(1/0=+\infty\)？
    A: 不定式（四则运算都有不定式），除以0
    0没有分正0和负0（计算机浮点数表示中其实有，但此处我们理论中没有区分）
  6. Q: 解说“The appropriate result for the multiplication operation requires only the categories P, M, N and Z of Table 6.4.”的“only”.
    A: 提示：乘法比加减法需要分类讨论得更多，除法比乘法需要得又更多。所以形成了分类的树结构，乘法不需要全部叶子。

6.6.4 - 6.6.5

  1. Q: 如何处理浮点数带来的问题？
    A: 使用outward rounding：对于非浮点数区间，取包含它的最小的浮点数区间。其具体实现细节不在本书范围。
  2. Q: 6.6.5中哪些问题是实数相比整数特有的？
    A:
    Interval Division中涉及0的问题与整数相同。
    Additional Interval Operations涉及的问题和整数相同（整数情况也有可能特别解释\(x^2\)提高效率等）
    Convergence中，\(x-y=1,y-x=1\)带来的问题并不是实数相比整数本质地特有的。它只是因为我们在整数处没有考虑\([-\infty..n]\)这种区间。
    而\(x-y=0,x-2y=0\)这种是特有的。
    Choice of atomic constraints的问题与整数相同：太少的atomic种类导致效率下降，不能显式表达的atomic不能导出好用的规则，等等。
    Choice of transformations into atomic constraints中dependency problem类似于之前涉及\(x^2\)的问题，是共有的。
    Choice of the function representation是共有的。

6.7 Arithmetic equations over reals

  1. Q: 如何理解“In contrast to the other incomplete constraint solvers discussed in this chapter, the one discussed here is not based on the domain reduction rules but rather on the transformation rules.”
    A: 本节讲的求解器（或说化简算法）相比之前的，出发点不同。之前的基于剪定义域，而这里的基于代入法。它们都从某个角度上能一定程度化简问题，但不足以解决问题。