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5 Local consistency notions

5.9 Relational consistency

  1. Q: relationally \((i,m)\)-consistent（后省略relationally）表示一切\(m\)个约束构成子序列诱导的CSP (\(\mathcal P|\mathcal C\))中，\(i\)个变量的对（）为\(i-\)consistent的instantiation能被（）。
    但是，拓展后的（）的解未必是\(i'-\)consistent（其中\(i'\)表示（））。概括：“局部”地考察这新增的\(m\)条约束的效果。
    A: \(\mathcal P\)，拓展到\(\mathcal P|\mathcal C\)的解。
    \(\mathcal P|\mathcal C\)，如此拓展后的instantiation定义域大小
  2. Q:

This yields perhaps the ultimate notion of local consistency, called relational consistency

\((0,m)\)-consistent就是凭空生成了满足所有\(m\)个约束的instantiation，所以（）时等价于global consistent.
node consistent前提下，当\(m\)取1时，（）。
A: CSP恰好只有\(m\)条约束。
\((1,1)\)-consistent每次考察一个变量的一个谓词（注：相当于考察一点连接的一条边或超边）故相当于arc或hyper-arc consistent.

  1. Q: 1.中展现了关于\(m\)的两种极端情况。实际上，\((i,m)\)-consistency的泛用性就是来源于参数\(m\)，之前的notion在处理\(m\)时要么只能太多，要么只能太少。例如（）
    A: arc consistency等，每次只多考虑一条约束的“增量”。
    \(k-\)consistency每次必然考虑涉及\(k\)个变量的所有约束。
    注：比较\(k-\)consistency和本节的rule，也能发现\(k-\)consistency确实考察得“太强”。

  2. Q: relational \((i,m)\)-consistency中对于\(i\)元instantiation有三种理解，以下哪种正确？

    1. 存在一个CSP的解，其在这个\(i\)元子序列“投影”是该instantiation.
    2. 该instantiation对于\(\mathcal P\)中每个只涉及这\(i\)个变量的约束满足。
    3. 该instantiation对于\(\mathcal P|\mathcal C\)中每个只涉及这\(i\)个变量的约束满足。

A: 1.
注：如果是0.的话，那就相当于直接可以解CSP，没有必要引入任何local consistency了。
1.2.的区别主要在于1.考虑的是“增量”（即在已知一致基础上，增加一些约束，希望不违背这些“增量”）。
举例：对于\(k-\)consistency，如果采用2.的理解，那么\(m\)需要很大（例如只有binary constraint时，就需要\(O(k^2)\)量级。如果有更多元的约束只会更大），枚举\(m\)个约束的子序列变得困难。
如果采用1.的理解，在所有约束都是二元的时，\(k-1\)元拓展到\(k\)元就只需要处理新的边，不需要处理之前\(k-1\)个顶点完全图。所以\(m=O(k)\).

  1. Q: 本节的规则中，为什么不用\(\bar C_X\)而是\(C_X\)？难道instantiation不是满足\(\bar C_X\)吗？
    A: 提示：\(\bar C_X\)计算量太大。此处使用\(C_X\)的规则下如果closed，也确实有\((i,m)-\)consistent，那就够了。
    当然，从另一个角度讲，使用\(\bar C_X\)未必完全无可取之处。因为这样的话需要考察的instantiation数量显然更少，最终得到的交集\(\bar C_X\cap\Pi_X(C_1\bowtie C_2\cdots C_m)\)也会很小。

5.10 Graphs and CSPs

  1. Q: 本来多元约束需要超边，现在怎么只用图表示CSP呢？
    A: 超边拆成（子）完全图。
  2. Q: width of a complete graph is ()，原因是（）。
    width of a tree is ()，原因是（）。
    A: \(n-1\)，无论怎么定义\(\prec\)总有一个点在“最后”连接了前面所有\(n-1\)个点。
    1，每个节点至多一个父节点。
  3. Q: 对于树结构，通过strong \(2-\)consistency推出global consistency相当于作（）序遍历。由于这种遍历可能有“多个起点”，故可以帮助解释该定理为何要求每个定义域（）而不是之前使用\(k-\)consistency的“一个定义域非空”
    A: 后，非空
    注：显然可以把每个定义域非空强化成遍历的起点对应的定义域非空。
  4. Q: 对于二叉树前序遍历，考察2.
    A: \(k=3\)且只需要根节点对应定义域非空。
  5. Q: Dircetional arc consistency和Directional path consistency分别对应\(k\)为多少的strong \(k-\)consistency从而可以使用2.中的做法推出global consistency？
    A: 在所有定义域非空，node consistent前提下，前者对应2（当然只看了“有用的方向”）
    除了上一段前提，还加上directionally arc consistent下，后者对应3（当然也只看了“有用的方向”）