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6 不可判定的问题
6.1 判定问题
- Q: \(HALT(x,y)\)对应什么单参数判定问题？
A:
\(\Pi = (N,Y_\Pi)\)
\(Y_\Pi = \{x|HALT(l(x),r(x))\}\)
注：一元谓词\(HALT(l(x),r(x))\)不可计算，则\(\Pi\)不可判定。
- Q: 记号\(D_\Pi, P_\Pi, Y_\Pi\)分别是什么？
A: \(D_\Pi\)是待考察判定问题的参数取值范围（“论域”）
\(Y_\Pi\)是待考察判定问题应当判定为是的元素集合。
\(P_\Pi\)是\(\Pi\)诱导出的\(N\)上谓词，\(P_\Pi(x)\Leftrightarrow e^{-1}(x)\in Y_\Pi\)，其中\(e^{-1}\)是解码。我们一般认为编解码是双射。
- Q: \(I\in Y_{\Pi_1}\Leftrightarrow f(I)\in Y_{\Pi_2}\)是双向，那归约关系为啥不对称？
A: \(f\)可计算，但\(f\)未必可逆。想判定\(I\in Y_{\Pi_1}\)时，可以能行计算出\(f(I)\)，然而反过来不一定可以能行计算。
所以说此时\(\Pi_2\)解决了\(\Pi_1\)也解决了，\(\Pi_1\)归约到\(\Pi_2\)
- Q: 判定某程序计算的函数是否是全函数为何不是半可判定？
A: 如果其对应整数集\(A\) r.e.则\(A\)是某可计算函数\(g\)值域，则\(\Phi_{g(x)}(y)\)为全函数，且所有的\(g(x)\)对应了所有的全函数。
设\(f(x)=\Phi(x,g(x))+1\)则\(f\)可计算，且\(f(x)\ne \Phi_{g(x)}(x)\)，\(f\)与任意\(\Phi_{g(x)}\)都不同，矛盾。
- Q: 本章的归约和平时做题常见的归约有什么异同？
A: 平时是未知归约到可解。现在是不可判定归约到未知。
本质是“逆否命题”，即A归约到B，A不可判定则B不可判定，B可判定则A可判定。
6.2 Turing机的停机问题
- Q: 考察的是不指定接收状态的TM. DTM \(\mathscr M\)的停机问题一定不可判定吗？
A: 不一定。注意某个DTM的停机问题是以格局作为单参数的。
- Q: （一般的）TM停机问题如果可判定了，那么存在一个\(f\)是（），使得（）通过\(f\)归约到此问题，矛盾。
A: 把字符串\(x\)变为格局\(q_1 Bx\)，判断任意（自然数对应的）r.e.语言中是否有任意字符串。
- Q: 用归约思想考察：“任给TM \(\mathscr M\)和格局\(\sigma\)，从此开始是否可能到达状态\(q\)？”不可判定。
A: 对TM \(\mathscr M\)和输入\(x\)，能行地计算初始格局\(q_1 Bx\)，并能行地计算“诱导出的”新TM \(\mathscr M'\)（新增唯一停机状态\(q_f\)且增加一系列\(qssq_f\)四元组）
则\(\mathscr M\)对\(x\)停机等价于\(\mathscr M'\)对\(q_1 Bx\)开始能达到状态\(q_f\).
6.3 字问题和Post对应问题
- Q: 无论对于\(\Sigma(\mathscr M)\)还是\(\Omega(\mathscr M)\)，都可以把（）归约到文法的字问题。
A: \(\mathscr M\)的停机问题（判断某字符串是否属于\(\mathscr M\)接受的语言）
- Q: 引入特殊符号\([,],*,\tilde *\)作用是什么？假设存在奇长度派生的作用是什么？
A:
\([,]\)：确保两端是指定有序对（“骨牌”）（至少，有合题意的子串的两端是），从而有\(u*,\tilde *v\)结构，以确保\(u\)为起点，\(v\)为终点.
\(*,\tilde *\)：结合两端出现的\(*,\tilde *\)，归纳地依次出现\((*,\tilde *),(\tilde *,*)\)，从而显式分割整个字符串。
奇长度派生：确保是\(\tilde * v\)而不是相反的\(*\tilde v\)，避免分类讨论。
- Q: 归约过程中，对于证明原字问题有解等价于新的Post对应问题有解的两个方向，解\(w\)对应的派生有什么不同？
A: 提示：一个方向是通过已知的奇长度派生手动构造解\(w\)，每个“分割段”恰好对应派生的一步。
另一个方向中对于任何（“剥开了两侧多余”）的解，每个分割段可能对应使用多个产生式，对应派生的若干步（若干个\(g_i\)各自变成\(h_i\)，具体可能是0或1或多个）。只要使用的“区间”“互不重合”即可。
6.4 有关文法的不可判定问题
- Q: 本节和上节有何区别和联系？
A: 提示：本质上是利用了想要派生出某些字符串的必要条件是能派生出某某（或：某字问题有解）
- Q: 如何证明“任给一个（已知\(L(G)\)为有限的）文法\(G\)，\(L(G)\)是否为奇数个元素的集合？”不可判定？
A: 提示：\(T=\{a,b\}\)，\(S\to hq_1 s_0 uh, hq_0 h\to b, S\to a\).
6.5 一阶逻辑中的判定问题
- Q: 对于本节中构造出的形式系统，为什么要求论域不能有空串，Thue过程左右侧也都不能有空串？
A: 论域有空串则可能会“不断拼接空串”，造成不便。因为论域没有空串，\(g_i^\#,h_i^\#\)要作为谓词的论据也不能有空串。
- Q: 公理中哪些是一般半群的性质？哪些是特有的？
A: 注意出现了等价关系的反身性（1）、传递性（2），半群的结合律（4，5），半群中运算良定义（3）。
\(5+i\)则对应了某个特别的Thue过程，且\(^\#\)记号（连续复合二元谓词表示序列）也是具体的知识。
6 不可判定的问题 习题
- Q: 存在某半Thue系统，“任给字符串是否是定理”不可判定：一种证法是考察特例\(u_0=\)（），从而可以利用上（）。
A: S，之前有关文法的不可判定问题结论
特别注意这个“特例”是原问题的子问题，而有一不可判定的问题可以归约到此子问题。
- Q: 对只包含一个产生式的半Thue过程字问题，通过（）容易看出停机需要的时间是（潜在）无限长的，故不能直接（用NTM等）模拟解决。必须通过某种更本质的考察。
我们利用算法正确性证明中常用的“考察严格单调函数”思想。例如：非负函数严格单调减，减至0时一定不能继续派生，这就说明一定停机。
首先，若\(g,h\)长度不等则至少有一侧（正或逆）使得字符串长度（）。
其次，若\(g,h\)长度相等但至少有一个\(g\)中的字符不在（），则（）。
再次，若\(g,h\)只是重排，但有某字符\(a\)的（），则（）。
A: a通过\(a\to aa\)生成\(a^n\)
每次应用产生式时至少减1
\(h\)中，每次应用产生式时该字符的数量至少减1
在\(g\)各个出现位置形成的元组不同于\(h\)中的，每次应用产生式时\(a\)在全字符串中的各个出现位置形成的元组单调变化
注：课本做法也行：关键是整个派生过程中（不重复）出现的字符串长度已知为\(|u|\)至\(|v|\)间的整数（含端点），总的可能性有限。
- Q: 如何将一般的Post对应问题归约到只有2个符号？
A: 二进制编码
- Q: 习题6.7用字问题归约直接还是对应问题归约直接？
A: 对应问题。设想半Thue过程产生式\(aa\to \epsilon\)则\(a\)不能派生\(\epsilon\)但\(aa\)能，这说明不是“同态”。
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