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3 通用程序

3.1 程序的代码

  1. Q: 为了确定指令的代码，直观的想法是用3个自然数分别表示标号（label）、涉及的变量以及（）
    A: 对变量执行的操作（空、增、减，或者若不为零跳转至哪个标号）
  2. Q: 从编码的角度，考察为什么规定\(\mathscr S\)程序中可能出现多个相同标号。
    A: 为了一一对应，避免出现过多不合法的程序（当然实际执行时，规定只跳转到第一个标号，写通用程序时也按照此约定。使用有界极小化）
  3. Q: 从编码的角度，考察为什么需要空指令。
    A: 哥德尔编码末尾任意增加0相当于增加多条\(Y\to Y\). 不产生效果。借此可以良定义一个自然数集与程序子集的一一映射（子集：考察的程序末尾不能是0对应的指令\(Y\to Y\)）
  4. Q: 为了一一对应，空数列的哥德尔数是（）故空程序的哥德尔数是（）
    A: 1, 0

3.2 停机问题

  1. Q: （）的势大于（）所以存在（）的部分函数。
    A: 自然数集上全体函数，自然数集的势，不是部分可计算。
  2. Q: 解说“对角线方法”，“不在表中，矛盾”（分别对实数集不可数和停机问题说明）
    A: 这两个问题的证明都是“不在表中，矛盾”。对于实数集，列好可数行可数列的表，构造新的实数第\(i\)位与第\(i\)个数不同，则该实数不在表中，矛盾。
    对于停机问题，列好可数行可数列的表，构造新的程序（IF HALT(x,x) THEN 死循环），对\(x\)的是否停机和第\(x\)个程序不同，则该程序不在表中，和（如果停机问题可计算则）该程序在表中矛盾。
    本质上就是第\(x\)位和第\(x\)个对象不同，从而保证了和可数个对象都不同。
    更本质地，反映了\(2^X\)的势大于\(X\)的基本原理。

3.3 通用程序

  1. Q: 解说记号\(\Phi_y(x),\Phi(x,y)\)，并区别于\(HALT\).
    A: \(\Phi_y(x)\)省略上标1，表示用编号为\(y\)的程序诱导出一元函数，并把\(x\)作为输入。\(y\)是指定常数。（之前是程序诱导一元函数，现在是程序的编码诱导一元函数）
    如果\(x,y\)同时作为变量，则用\(\Phi(x,y)\)表示。
    \(\Phi(x,y)\)部分可计算，\(HALT\)不可计算，当\(\Phi(x,y)\uparrow\)时\(HALT(x,y)=0\)
  2. Q: 通用程序中哪些部分对应了状态、快相、增、减、转移至不存在的标号？
    A: 状态：\(S\)，用哥德尔编码。
    快相：除了\(S\)还有\(K\)，\(K\)表示指令从上到下的序号（不一定等于标号）。初始为1
    转移至不存在的标号：有界极小化得到结果0，则\(K\)变为0，随即程序终止运行。（回忆GOTO E的语义）
    增减：乘或整数除法（\(\lfloor a/b\rfloor\)）（注意当\(P|S\)时说明某变量本就为0，则无需运算）
  3. Q: 计步（\(STP^{(n)}(x_1,\cdots,x_n,y,t)\)）的计算程序相比通用程序需要改哪些地方？
    A: 多维护一个变量表示步数（不等于指令从上到下的序号！）（思考：你弄清楚程序的编码、指令的标号、指令从上到下的序号、步数的区别和联系了吗？）
    步数超出一定值强行终止。
    终止时不输出计算结果，而是如果非强行终止就令\(Y\leftarrow 1\).

3.4 递归可枚举集

  1. Q: 递归，递归可枚举，通用程序，停机问题有何联系？
    A: 提示：确保有输出结果，用输出是1还是0区分，就是递归、停机问题。
    不确保有输出结果，有可能停机或不停机。停机则一定停机，不停机时不知道是尚未运行到还是真的不停机（回忆“极小化”运算），则是递归可枚举、通用程序。
    这几者之间的联系可以由上看出。具体地可以由此构造出非递归集和非递归可枚举集，更具体的略。
  2. Q: 计步、“并行”、并集有何联系？
    A: 用计步函数（每个循环中分别对两个程序做判断）可以“模拟”“并行”的两个程序，从而可以证明递归可枚举集并集仍递归可枚举。
    注：以及\(B,\bar B\)递归可枚举等价于\(B\)递归。
  3. Q: 递归函数，原始递归函数，部分递归函数，递归语言，递归集，递归可枚举集有何联系？“枚举”一词具体来源为何？
    A: 原始递归函数是递归函数的真子集，递归函数等价于可计算函数，是全函数。部分递归函数等价于部分可计算函数，不一定是全函数。递归语言特征函数递归，递归集特征函数递归。递归可枚举集是递归集的真超集，其特征函数不一定递归，但任一个递归可枚举集存在至少一个对应的自然数（表示程序编码），故称“可枚举”（枚举定理）
  4. Q: \(\neg HALT(n,n)\)的自然数\(n\)构成集合为（），因为如果不然，则根据定义存在编号为\(n_0\)的程序满足（）。
    A: 非递归可枚举集，\(HALT(n,n_0)\Leftrightarrow n在待考察集合中\Leftrightarrow \neg HALT(n,n)\)矛盾（取\(n=n_0\)）

3 通用程序 习题

  1. Q: 证明莱斯定理。\(HALT(0,x)\)不可计算为什么是莱斯定理特例？
    A: 莱斯定理：不可能计算：某个编码诱导的函数是否属于部分可计算函数类的指定非空真子集（非平凡子集）。
    其证明：如果可以计算某上面所述非空真子集\(A\)的特征函数，则不妨设\(A\)不包含空函数，则其中有一函数\(f\)，一个数\(a\)满足\(f(a)\downarrow\)，则：对于任意\(s,t\)（不要写成\(x,y\)否则混淆）可以（可计算地）构造程序
Z <- \Phi(s, t) #注意\Phi部分可计算，所以此宏指令合法。区分\Phi和HALT
Y <- f(x)

该程序在\(\Phi(s,t)\downarrow\)时计算的部分可计算函数就是\(f\)，属于\(A\)；否则计算的是空函数，一定不属于\(A\).
该程序的编码为\(s,t\)的可计算函数\(encode(s,t)\)，则谓词：\(encode(s,t)\in A\)就是\(HALT(s,t)\).
停机问题不可计算，\(encode\)可计算则谓词\(n\in A\)不可计算
显然满足\(HALT(0,x)\)的\(x\)是部分可计算函数类的非空真子集。

  1. Q: 已知程序编号和快相求快相后继只是简单的分类讨论，因此是（）的。所以计步函数（）。“简单的分类讨论”思想还能得出没有“循环”，即条件转移不会往（）转移的\(\mathscr S\)程序计算的函数也是（）。
    A: 原始递归，原始递归，前或自身（指令所在行数小于等于自身），原始递归函数
  2. Q: 证明不存在可计算函数\(f(x)\)使得\(\Phi(x,x)\downarrow\)时\(f(x)=\Phi(x,x)\)
    A: 否则存在可计算函数\(g(x)\)使得\(\Phi(x,x)\downarrow\)时\(g(x)=\Phi(x,x)+1\)，设计算\(g\)的程序编号\(n\)，则\(g(n)=\Phi(n,n)+1=g(n)+1\).
    注：这其实也是对角线方法，因为对于任意编号为\(x\)的程序，\(g\)可计算但是\(\exists x_0=x,s.t.g(x_0)\ne \Phi(x_0,x)\)，则\(g\)编号不为\(x\)，\(g\)不在表中，矛盾！
  3. Q: 上一节题1.说“并行”判断\(f_1(x)\)或\(f_2(x)\)停机。是否能做到当其中一个部分\(f_1\)能停机时就一定输出和\(f_1\)相同的结果？
    A: 不能。否则考察\(f_1(x)=\Phi(x,x)\)和（存在）一个可计算函数\(f_2\)，则“并行判断”总是能停机（\(f_1\)或\(f_2\)至少一个可计算），这个“判断”是可计算函数，则根据2.即得结论。
  4. Q: \(W_n=\{m|HALT(m,n)\}\)，\(A\)为r.e.，则\(\cup_{n\in A}W_n\)和Cantor编码有何联系？
    A: 对于任何此集合中的元素\(t\)，存在\(a\)使得\(t\in W_a\)，其中判断\(a\in A\)需要运行\(\Phi(a, x_A)\)共\(b\)步，判断\(t\in W_a\)需要运行\(\Phi(t,a)\)共\(c\)步。则用三元Cantor编码枚举\((a,b,c)\)即可。
    注：也可以令\(d=max\{b,c\}\)，则只需要二元Cantor编码。