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2 原始递归函数
2.6 Ackermann函数
- Q: Ackermann函数的递归相比之前的各种递归有什么本质区别和联系？
A: 观察\(A(k+1,x+1)=A(k,A(k+1,x))\)，相比之前一般的多变量递归表达式\(B(k+1,x+1)=g(k,x,B(k+1,x),B(k,x+1))\)，外层是\(B\)而不是固定的可计算的\(g\)，则不能套用多变量递归的定义。
\(A(k,\cdot)\)可看作一元函数\(g(\cdot)\)，则显然\(A(k+1,x)\)看成关于\(x\)的一元函数为原始递归函数。
\(A(k+1,x+1)=g(A(k+1,x))\).
故可以看作Ackermann函数是“不断生成增长越来越快的函数”，每次\(k\)到\(k+1\)，就使用上一次“生成的函数”作递归的“外层”（即之前的\(g\)记号）
- Q: 接上，直观上\(A(k,\cdot):=A_k(\cdot)\)随着\(k\)变大，增长速度越来越快。
直观上我们希望证明对于任意原始递归函数\(f(x_1,\cdots, x_n)\)，存在\(k\)使得（）严格大于（）。
上述结论归纳起点是三种初始函数分别别存在\(k\)为（）。
A: \(A_k(max\{x_1,\cdots,x_n\})\)，\(f(x_1,\cdots,x_n)\)，零函数对应0 投影对应0 后继函数对应1
- Q: 接上，既然有了归纳起点，就要开始归纳了。对于复合运算，因为有内外两层，故需要出现\(A_m(A_n(max\{x_i\}))\)结构（此处\(x_i\)是\(x_1,\cdots, x_n\)的简化写法）。因此看出\(m\)需要（），而\(n\)处需要（）。记一组满足这样条件的\(m,n\)为\(m_0,n_0\). 则得到\(A_{m_0}(A_{n_0}(max\{x_i\}))>A_{m_0}(max\{g_j(x_i)\})>h(g_j)\).
进一步分析：我们需要\(A_k(max\{x_i\})>f(x_i)\)，因此只需证明\(A_k(max\{x_i\})\ge A_{m_0}(A_{n_0}(max\{x_i\}))\)，则\(k\)只需（），依据是\(A_{k+2}(x)>A_{k+1}(x+1)=A_k(A_{k+1}(x))\).
A:
满足\(A_m(max\{x_i\})>h(x_i)\)（其中\(h\)是复合的外层）
满足\(A_n(max\{x_i\})>max\{g_j(x_i)\}\)（其中\(g_j\)是各个内层分量）
\(k\ge max\{m_0,n_0\}+2\)
- Q: 对于原始递归运算，如何做以上归纳？
A: \(h(x_i,0)=f(x_i),h(x_i,t+1)=g(t, h(x_i,t),x_i)\)
\(A_k > f=h(x_i,0)\)
\(A_k > g, A_k(max\{t,h(x_i, t),x_i\})>g(t,h(x_i,t),x_i)\)
希望找到\(m\)使得\(A_{k+m}(max\{x_i, t+1\}) > h(x_i, t+1)\)，相当于要求\(A_{k+m}(max\{x_i, t+1\}) \ge ? \ge A_k(\max\{t, h(x_i, t),x_i\})> g(t, h(x_i, t),x_i)=h(x_i,t+1)\)
\(?\)中填什么？直观的想法是\(h(x_i, t)+max\{x_i, t\} \ge max\{t, h(x_i,t), x_i\}\)，即出现两项，提示我们采用2个\(A_p\).
因此只需考虑
\(A_{k+m}(max\{x_i, t+1\}) > A_{k+m-1}(max\{x_i,t+1\}+1) =A_{k+m-2}(A_{k+m-1}(max\{x_i,t+1\}))\)
\((核心步骤，得到2A_p结构) > A_{k+m-4}(2A_{k+m-1}(max\{x_i,t+1\}))\)
\(> A_{k+m-4}(h(x_i, t)+max\{x_i,t\})\ge A_{k+m-4}(max\{t,h(x_i,t),x_i\})\)
\(>g(t,h(x_i,t),x_i)=h(x_i,t+1)\)
注：此处相比课本上的证法更加“暴力”。毕竟\(A_k\)的\(k\)每增大1，所提升的“增长速度”就非常多。
- Q: 栈，递归和配对有何关系？
A: 用栈书写递归的计算过程（此处用于构造能计算Ackermann函数的\(\mathscr S\)程序）
用配对函数表示栈，例如栈中有\(1,4,2,3\)，则数\(\langle 1\langle 4\langle 2,3\rangle\rangle\rangle\)表示该栈，左边是栈顶，可以通过\(l(\cdot)\)取出。
2.7 字函数的可计算性
- Q: 本节中的\(n\)进制表示为什么每一位是\(1\sim n\)，而不是\(0\sim {n-1}\)？为什么这样的\(n\)进制表示可以不重不漏地对应所有自然数？
A:
否则在整个字符串前面加任意多个0不影响结果（数和字符串不一一对应）且不能使用一进制。
证明：空串对应0.
长度为1字符串对应\(1\sim n\)自然数（含）。
接下来归纳：若长度小于等于\(k\)字符串恰好一一对应\(0\sim \sum_{i=0}^{k-1} n\cdot n^i\)的自然数（注意最大指数为\(k-1\)），则长度等于\(k+1\)的字符串对应的自然数一定是\(\alpha_k n^{k} + b\)，其中\(b\)对应某个长度为\(k\)的字符串，即范围\(\sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i n^i,\alpha_i\in \{1,\cdots,n\}\)，接着容易证明长度小于等于\(k+1\)的字符串恰好一一对应\(1\sim \sum_{i=0}^{k} \alpha_in^i\)的自然数。
- Q: 改变字母表顺序保持部分可计算、可计算、原始递归的证明思路是什么？
A:
首先注意：部分可计算和原始递归，合起来是部分可计算。可计算和原始递归，合起来是可计算。原始递归和原始递归，合起来是原始递归。直观上，原因是原始递归“最强”，增加一些原始递归的操作能维持部分可计算、可计算、原始递归等各种性质。
所以，设两个不同的字母表顺序下“本质相同”的两个函数分别为\(f\)和\(g\)，我们只需通过\(f\)和某些原始递归函数得到\(g\)，根据对称性就反过来也能用\(g\)和某些原始递归函数得到\(f\).
此处\(f\)如果是部分可计算、可计算、原始递归，则相对应得到\(g\)也是部分可计算、可计算、原始递归。（“保持”）
更具体地，这里的“某些原始递归函数”就是依次取出某自然数的\(n\)进制表示的每一位，然后“查表”把该位映射成“新的”。这样一来形如\(\eta(f(\eta^{-1}()))\)结构可以表示\(g\).
2 原始递归函数 习题
- Q: Cantor编码，双变量递归和“查表”的多步递归（回忆上一篇中2.5题2.）有何联系？哥德尔编码能建立此联系吗？
A:
回忆：Cantor编码是每次用“斜线”排列一列数，从而建立自然数集与自然数有序对的一一映射。
我们希望\(h(x,t_1,t_2)=H(x,\pi(t_1,t_2))\)，则只需考察\(H\)是否原始递归。
容易发现对于非边界情况，因为Cantor编码的特殊性，所谓的“查表”的索引就是简单的\(x-\sigma_1(x)-\sigma_2(x)-1\)和\(x-\sigma_1(x)-\sigma_2(x)\)
即：需要考察\(H(x,\omega_1(y))=H(x,y-\sigma_1(y)-\sigma_2(y)-1)\)以及\(H(x,\omega_2(y))=\cdots\).
哥德尔编码与此大同小异（\(\omega_i\)不同）
- Q: 联立递归在表达\(0,1,0,1,2,0,1,2,3\)时为何比较方便？
A: 多一个变量作为“内存”来“储存中间量”。（例如：“轮到第几次单调递增了”）
- Q: 如何理解“\(A(k,x)\)原始递归，\(A(x,k)\)不原始递归”、“\(A(x,k)\)关于\(x\)增长比\(A(k,x)\)快”？
A: 提示：已知\(A(k,x)\)原始递归。
并已知\(\forall a,b\exists x_0,s.t.A(x_0,a)>A(b,x_0)\)（“增长快”）
以上两事实可以证明出\(A(x,k)\)不原始递归。
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