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5 Local consistency notions

5.5 Path consistency

  1. Q: 解说"normalized CSP"和"universal relation"的关系。
    A: normalized CSP要求每个二元子序列最多有一个约束（唯一性）。如果我们进一步希望“存在唯一”，那就要形式上引入universal relation进行“占位”。
    注：然而universal relation并不是normalized CSP的约束。更进一步的standardized和regular才要求了“存在唯一”约束，即对任意子序列\(X\)存在唯一约束\(C_X\).
  2. Q: 二元关系的transposition和composition让你想到什么对象的运算？
    A: 矩阵转置、乘法。
    注：考察这里的乘法封闭、有结合律、有幺元（“单位阵”），故你也可以说composition与幺半群相关。
  3. Q: 如何理解包含关系式\(C_{x,z}\subset C_{x,y}\cdot C_{y,z}\)？其等价于什么样的包含关系式或包含关系式集？
    A: 首先，\(x,y,z\)三者构成变量序列的三元子集，即无序，不重复。
    所以，\((x,z),(x,y)\)等等都不一定是子序列。如果\(x,y\)是反序的，就用转置运算得到\(C_{x,y}=C_{y,x}^T\)，等等。
    整个式子要求如果\((a,c)\in C_{x,z}\)，则存在\(b\)使得\((a,b)\in C_{x,y},(b,c)\in C_{y,z}\).
    当然，这里的\(x,y,z\)记号可以轮换，因为集合\(\{x,y,z\}\)是无序的。所以实际上这一条关系式等价于全排列生成的6条包含关系式。
    然而根据对称性，6条关系式又等价于3条。
    更进一步的，\(\{x,y,z\}\)如果在CSP变量序列中排序恰好是\(x,y,z\)，那么这3条可以显式写成\(C_{x,z}=C_{x,y}\cdot C_{y,z},C_{x,y}=C_{x,z}\cdot C_{y,z}^T,C_{y,z}=C_{x,y}^T\cdot C_{x,z}\).
  4. Q: path consistency和前面的几种consistency的明显区别是什么？
    A: 剪枝的是约束不是定义域（或说是二元谓词不是一元谓词，是边不是点）
    考察了多个谓词而非一个谓词。
  5. Q: m-path consistency为什么没有带来新的东西？
    A: 如果一个CSP是\((m-1)\)-path consistent，则：
    想构造长度为\(m\)的路径。只需先找“倒数第二个点”，使用2-path consistency构造长度为2的路径，再对起点和倒数第二个点使用\((m-1)\)-path consistency构造长度为\(m-1\)的路径。根据归纳法，path consistent蕴涵m-path consistent.

5.6 Directional path consistency

  1. Q: 简述“重新排序”时怎么考察directional path consistency. 与directional arc consistency比较。
    A: 在已经指定好变量序列时，对于\(x,y,z\)是子序列，现如果想要考察一个和原始顺序不同的\(\prec\)（例如\(z\prec y\prec x\)）下的directional path consistency，则对\(\prec\)进行讨论，分三种情况处理。
    举例\(y,z\prec x\)时，只需考察\(C_{y,z}\subset C_{x,y}^T\cdot C_{x,z}\).
    注：可以看到谁在\(\subset\)左边（剪谁）是新的\(\prec\)决定的，但是谁转置谁不转置是旧的顺序决定的。对于\(\prec\)，只剪靠前的变量相关的东西（此处是约束），不剪靠后变量相关的，这点和directional arc consistency（剪靠前变量定义域）一致。
    注：课本中，对“重新排序”的处理相比directional arc consistency有所不同——在那里是重新构造了CSP \(\mathcal P_\prec\). 当然你想在这两种做法间切换并没有理论上的障碍。

5.7 k-consistency

  1. Q: instantiation的定义域和CSP的定义域是何关系？
    A: instantiation的定义域是CSP变量序列的子序列，而每个分量的值域恰是CSP相应变量的定义域。
  2. Q: k-consistent和global consistent, node consistent, arc consistent有何联系？
    A: global consistent等价于存在一个instantiation是k-consistent，其中k是变量总数。
    但global consistent不等价于整个CSP是k-consistent. 比如\(a>0,b>0,a\in\{0\},b\in\{0\}\)显然不存在1-consistent的instantiation，从而vacuously 2-consistent.
    注：可以发现\(k-\)consistent和\(l-\)consistent之间互不蕴涵（\(k\ne l\)）。直观来看，好像\(k\)越大性质越强，但实际上，由于“空虚的真”现象，这也不一定！
    node consistent就是1-consistent.（注：只考虑1元谓词）
    已知node consistent，则arc consistent等价于2-consistent.
  3. Q: 已知node consistent，则3-consistent和path consistent有何联系？
    A: 只有二元约束时，3-consistent等价于path consistent，否则前者更强，因为后者只考虑二元关系。
  4. Q: 构造一个global consistent CSP，是1-consistent，3-consistent，但不是2-consistent.
    把global consistent改成global inconsistent呢？
    A: \(x<y, x<z,x\in \{-1,0,1\},y\in\{0,1\},z\in\{0,1\}\)
    \(x=y,y=z,x\in \{0\},y\in\{1\},z\in\{2\}\)

k-CONSISTENCY rule

  1. Q: 如何用变元多的约束构造变元少的约束？如何用多个变元少的约束构造变元多的约束？
    A: projection.
    join.（同时满足多个变元少的约束。例如3个变元，满足3条二元约束）
  2. Q: 说出符号\(\bar C_X\)良定义的关键点。\(\bar C_X\)和\(C_X\)联系如何？
    A: \(\bar C_X\)是用连续多个join定义的。所以要求运算join可交换。
    \(\bar C_X\)比\(C_X\)显然更强。
  3. Q: 用\(k=2\)为例解释\(k-\)CONSISTENCY规则\(\frac{C_X}{C_X\cap \prod_X(\bar C_{X,y})}\). 问：k-consistency剪的是几元约束？
    A: 假设node consistent. 则此时，\(\bar C_{X,y}\)就是二元约束，其投影用来剪\(D_X\)（剪一元约束）。
    可以看到和arc consistent剪法相同。
    当\(k=1\)剪1元，否则剪\(k-1\)元。
  4. Q: 为什么k-CONSISTENCY的closed under rule和consistent不等价？它相比arc consistent, node consistent, path consistent等有何本质区别？
    A: 其实根源是\(\bar C_{X,y}\)运算。因为\(\bar C_{X,y}\)太强了，包含进了所有子序列的约束。
    提示：回忆：arc consistent等价于closed under the corresponding rule. 而node consistent时，arc consistent等价于2-consistent. 可以看到关键在于node consistent.
    在\(k=2\)，且没有node consistent时，\(\bar C_{X,y}\)太强了，直接包含进了各个一元约束，其投影自然也保留了这些约束。
    于是2-consistent相比arc consistent的规则，因为有那些一元约束所以“额外多剪了”一些定义域（或者说“必须更小心才能不被剪”）。这正是不等价的来由：即使某CSP已经2-consistent了，但因为它没有注意有关一元约束的事情，所以仍然被剪了。
    对于node consistent，因为没有“真子序列”了，自然就不存在此问题。所以1-consistent仍然是和closed under the rule等价。

5.8 Strong k-consistency

  1. Q: 已知并非所有定义域都为空，那么strongly k-consistency和global consistency有何关系？
    A: 此时前者推出后者。
    定义域非空和1-consistent得到一个定义域为单元素集的instantiation（起点非空），之后由于没有vacuously consistent了，因此可以归纳地生成一组定义域为所有变量序列的instantiation. 总之，关键就在于保证每一步非空。
    后者不能推出前者（回忆上期提到：local consistency在“剪枝”这一行为上比global consistency苛刻。如果有些定义域有多余的元素，那么global consistency不被破坏但node consistency被破坏）