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4 Some complete constraint solvers

4.3 Linear equations over reals

  1. Q: 利用教材的约定，试将\(a-b=2c\)表示成一阶逻辑原子公式。
    A: 形如\(A_1^2(f_+^2(f_1^1(a),f_{-1}^1(b)),f_2^1(c))\)，谓词和函项的解释略。
  2. Q: 对线性方程normalize可能得到什么？
    A: 希望得到\(\sum_{i=1}^n a_ix_i=r\)
    但实际上可能是三种情况。\(0=0\)（不提供信息），\(0=r(r\ne 0)\)（相当于\(\perp\)了），或者“正常情况”\(\sum_{i=1}^n a_ix_i=r\)，左侧至少有一项系数非零。
    注：只有“正常情况”可能导出pivot form.
  3. Q: 为了类比4.2节的结果，我们把哪些4.2节中针对一般一阶逻辑表达式的概念挪用到了此处？
    A: 如substitution：除了要求代入的项\(t\)是normal form，其它都与一般的一阶逻辑情况一致。（显然，此处代入结果仍是linear equation）
    如unifier：让方程\(s=t\)变成\(0=0\).（也可以模仿上一节把此结果称为\(s\equiv t\)，以示与\(=\)的区分）
    如solved form：每一条方程都是pivot form，且每个左侧变量不出现在每个右侧。
    如strong mgu, determine含义都与之前对应。
  4. Q: solved form对应什么样的矩阵？
    A: \(x_i=t_i\)中的左侧变量不出现在其它任何地方，这实际上相当于矩阵分块为左右两部分，左侧是\(n\)阶单位矩阵，右侧是\(n\times m\)的一般的矩阵。其中\(n\)是solved form的公式条数。
    当然，此形状的矩阵和最简阶梯形矩阵（简化阶梯形矩阵）有联系。
  5. Q: 如何理解"We pursue here a more general possibility according to which each variable domain consists of the set of linear expressions in normal form, that we denote by \(\mathcal N\mathcal F\)."？
    A: 回忆线性代数中求\(x_1=x_3+x_4,x_2=x_3-x_4\)的通解方法：分别代入\((x_3,x_4)=(0,1); (x_3,x_4)=(1,0)\)，然后对得出的两个线性无关的\(\vec X:=(x_1,x_2,x_3,x_4)\)线性组合.
    即：当线性方程组的解不唯一时，我们先找mgu，再进一步代入具体数值。此处约束求解只是走到找mgu这一步。这里的mgu中的项\(t_i\)就不一定都是常数值了，可能有一般的表达式。

The LIN proof system

  1. Q: SUBSTITUTION规则何时并未做SUBSTITUTION而是做了其它工作？LIN中SUBSTITUTION相当于之前UNIF中的什么规则？进一步比较LIN和UNIF.
    A: 对于\(s=v\)，先化简成pivot form \(x=t\)，这时如果\(E\)中除了这一条没有其它方程（或者其它方程都不含\(x\)），那么该次运用规则SUBSTITUTION就没有做任何SUBSTITUTION，而是只化了个简。
    实际上，SUBSTITUTION相当于做了之前UNIF规则中SUBSTITUTION, TRANSPOSITION两条。
    由于该问题特殊性，LIN相比UNIF，FAILURE 1规则窄化成了\(0=r\)形式，FAILURE 2规则不存在，DECOMPOSITION规则不存在。
  2. Q: LIN系统“如果终止就正确”的论证和UNIF有什么异同？
    （注：这里不是在问其“总是终止”的证明）
    A: 大体遵循相同模式。只有由于规则集不同，故如何从closed推出solved的论证有细节上的区别。
  3. Q: 书中提到"a less drastic alternative". 请用矩阵操作作为书写工具，对是否"drastic"的两种算法做对比。
    A: drastic的那种类似于
    \(\begin{matrix} 1&2&3\\2&0&-2\\2&0&0 \end{matrix}\to \begin{matrix} 1&2&3\\0&-4&-8\\0&-4&-6 \end{matrix}\to \begin{matrix} 1&0&-1\\0&-4&-8\\0&0&2 \end{matrix}\)
    关注刚刚第二个箭头中，对于第二行第二列的-4，我们不但用它消去下面的-4，还用它消去上面的2，这就是所谓"global".
    自己实际操作对比，可以看出这相比“先化为阶梯形矩阵”的算法（在此处，体现为只会先用-4消去下面-4），效率更低。
    注："drastic"称为高斯-约当消元法。而"a less drastic alternative"（先化为阶梯形矩阵）称为高斯消元法。
  4. Q: 接上，证明这两种消元法的completeness过程有何异同？
    A: 高斯-约当：(unsolved var, card)元组。
    高斯：无法再考察unsolved var个数了，如果你仍想用“元组”考察，可以定义"left unsolved"概念，表示某\(x_i=t_i\)的\(x_i\)是否出现在\(t_1,\cdots,t_i\)（考察“单侧”）。以及相应的"right unsolved"概念。
    当然，也没必要一定用元组考察。像课本中直接叙述也可。

4.4 Linear inequalities over reals

  1. Q: 为什么需要\(^\le x,x^\le, \bar x\)三种normal form？之前LIN系统那样统一用一种normal form不好吗？
    A: 这样看起来使得形式不统一了，但注意形式统一并不是我们的目的，消元才是我们的目的。
    所以应该针对某个变量\(x\)，对于不等式关于其的关系做讨论，化简成便于考察\(x\)的形式，才方便消去它。之前LIN系统是恰好只用一种normal form就足够消元了。
  2. Q: 处理不等式时如何类比上节中提到的\(=,\equiv\)？
    A: 如果你愿意的话，当\(s\le t\)等价于\(r\le 0\)，其中\(r\)是小于等于0的常数时，你可以记作\(s?t\)，其中?是新符号。这里的?就相当于上一节的\(\equiv\).
  3. Q: 直观解释\(x-ELIMINATION\)规则具有某种意义下的equivalence preserving性质。
    A: 注：应用前对\(x\)有限制，应用后对\(x\)无限制，故该规则显然不是一般意义的equivalence preserving.
    实际上，\(x-ELIMINATION\)规则在所有变量取值为常数（而非一般的\(\mathcal N\mathcal F\)中的项）时是w.r.t.一个子序列的equivalence preserving（当然，从而是consistency preserving）
    一方面，满足\(LI\)的显然满足\(^\le x(LI)\cdot x^\le (LI),\bar x(LI)\).
    反之，如果针对除\(x\)外的变量能找到一组\(^\le x(LI)\cdot x^\le (LI),\bar x(LI)\)的（常数）解，则依托这组解来确定\(x\)（找\(x\)下界的上界，\(x\)上界的下界，从而找到一个可行的\(x\)值），就找到一组\(LI\)的解。
  4. Q: 如何将Fourier–Motzkin Elimination的原始形式转化为可以解出全部解集或最优解的形式？（注：只考虑解为常数，不考虑为一般的\(\mathcal N\mathcal F\)中的项）
    A:
    全部解集：每次消元不要彻底扔掉\(x\)，而是挂着\(max\{s_1,\cdots,s_m\}\le x\le min\{t_1,\cdots,t_n\}\)这样一条（当然后面不会再动这一条了。并且\(max\{\cdots\}\)很有可能并不是线性函数，而是分段函数）
    举例：针对\(y\ge x-1,y\le x+1,y\ge -x-1,y\le -x+1\)，本来消去\(y\)得到4条关于\(x\)不等式，但现在还额外加入\(max\{x-1,-x-1\}\le y\le max \{x+1,-x+1\}\).
    那4条关于\(x\)的不等式照样正常解得到\(-1\le x\le 1\)，联合上额外加入的这条，最后得到解集\(\{(x,y)|-1\le x\le 1,max\{x-1,-x-1\}\le y\le max\{x+1,-x+1\}\}\)
    最优解：例如针对线性的优化（最小化）目标\(f(x,y)\)，增加约束\(f(x,y)\le z\)，消掉其它元直至只剩下\(z\)，例如得到\(-4\le z\)，这就说明待优化的目标最小是-4. 这时把\(z=-4\)代回，再“往回计算”，解出最小值点。
  5. Q: 解说"The accumulated increase of the number of inequalities can lead in the worst case to a doubly exponential number of inequalities."
    A: 每次应用消元规则，都导致不等式个数出现“乘积”，即（最坏）\(x\)个不等式得到\(x^2/4\)个，接下来是\(x^4/64,x^8/2^{14},x^{16}/2^{30}\)，以此类推（注：认为此处\(x\)比较大，\(x-1\approx x\)）。
    这样一来，\(n\)次这种操作（在\(n\)较大时，最坏情况，大约）产生了\(\frac{4x^{2^n}}{2^{2^{n+1}}}\)条不等式。这就是"doubly exponential number".