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2 Constraint satisfaction problems: examples

  1. Q: 列举"modeling"中可能出现的困难。
    A:

For other problems the appropriate representation as a CSP is by no means straightforward and relies on a non-trivial ‘background’ theory that ensures correctness of the adopted representation.

这时需要专家知识对问题进行表述，并论证正确性。
以及

more than one natural representation exists.

此时需要适当选择表述，提高效率等。

  1. Q: 快速阅读章简介，说出本章行文中分类标准。
    A:

the domains over which they are defined
integer, real, boolean, symbolic

之前的四类都是satisfaction问题，如果同时需要优化（最小或最大化）某个objective就是optimization问题. 后者也单独作为了本章一节。

2.1 Basic concepts

  1. Q: \(\langle \mathcal C; \mathcal D\mathcal E\rangle\)中的两者有什么区别和联系？
    A: 先由后者限定各个变量\(y_i\)的定义域，在此基础上再由前者进一步进行约束。从更大的角度来看，限定定义域也是一种特殊的约束。
    某种意义上，两者是“全集和子集族”的关系。

a constraint \(C\) on \(Y\) we mean a subset of ...

满足约束就是在子集中。
注：从这个角度可帮助理解（对于\(m\)元约束）满足约束的记号是\((d_{i_1},\cdots,d_{i_m})\in C\).
注：此处可以联系数理逻辑中论域、扩展的一阶语言、变元的类型、谓词等概念。如\(m\)元谓词对应\(m\)元约束。而\(\mathcal D\mathcal E\)可以看成指定“变元类型”，也可以看成一元谓词。

  1. Q: 如何理解"no syntax was assumed".
    A: 在最基础的定义中，约束都是直接由子集表示的。syntax实际上可以看成辅助表示子集，提高书写效率的某些合理描述方式和人为约定。例如\(x<y\)表示集合\(\{(x,y)|x\in D_x, y\in D_y,x<y\}\).
    从根本上来说，syntax在原始定义中没有涉及，且不是必须的、本质的。
  2. Q: 简要阐释"define constraints and CSPs to the sequences".
    A: 定义约束时都是有序的，不是无序的set，这在实际求解中带来好处。（必要性）
    这么做是可行的。举例：通过移项，引入辅助变量等手段。（可行性）
    注：更深入地，这和谓词和函项在计算机中的表示有关。在计算机内部表示中并不会用中缀的函项符和谓词符，所以其实移项只是表面而不是本质。比如，我们想把\(a\)排在\(b\)前，那么对于谓词\(A(b,a)\)应当相应构造\(A_{reverse}\)，使得\(A_{reverse}(a,b)=A(b,a)\)，从而在转换后的CSP中使用谓词\(A_{reverse}\). 这样构造谓词的过程在展示给人看时可能用移项表示。

2.2 Constraint satisfaction problems on integers

  1. Q: \(SEND+MORE=MONEY\)问题中，如果各个domain都是自然数集，那么需要哪些约束来描述这个问题？
    A: \(S,M\)是\([1,9]\)间整数，而其余字母都是\([0,9]\)间整数（注：从这可以看出2.1题0.的思想），且各个字母互不相同（注：这可以称为一条alldifferent约束）。且：
    \(1000S+100E+10N+D+1000M+100O+10R+E=10000M+1000O+100N+10E+Y\).
    注：也可以考虑“进位”，即\(D+E=10C_1+Y,N+R+C_1=10C_2+E\)等等。其中\(C_i\in\{0,1\}\).
  2. Q: 如何理解\(x-y\le 10-11z_{x,y}\)中的数字\(10,11\)？
    A: 对于\(x-y\)有界的情况，想表达\(x\ne y\)（也就是\(x<y\vee x>y\)）可以引入取值为\(\{0,1\}\)的辅助变量\(z_{x,y}\).
    对于\(x-y\le 10-11z_{x,y}\)，当\(z_{x,y}\)取1时变为\(x<y\)，否则相当于没有额外约束（因为已知有界）。
    另一条也类似。
    可以看出，这里\(x-y\le m-(m+1)z_{x,y},y-x\le (m+1)z_{x,y}-1\)中的\(m\)理论上可以取任何大于等于10的整数。不过10可以限制得最严格，具有某种意义上“最佳”性。
  3. Q: 八皇后问题中直观中有16个所谓“自由度”，为什么可以用8个变量表示？
    A: 因为已知每列有且仅有一个皇后，因此可以用8个变量表示8个皇后依次所在的行。
    然而，这不能拓展到“8x8棋盘放7个皇后”等问题。实际上，从这里就折射出普遍和特殊的思想。特殊的representation可以提高效率，但其难以泛化。
  4. Q: \(x_i-x_j\ne i-j\)中依次出现字母\(i,j,i,j\)，这是否和2.1题2.矛盾？
    A: 不矛盾。\(i,j\)并不是变量，\(x_i,x_j\)才是。这样一来每条约束都是依次出现\((x_i,x_j)\)两个变量。
  5. Q: The Zebra Puzzle中，如果给5栋房子指定数字1到5，那么3号房主人是violinist怎么表达？如果指定数字1到5对应的characteristic不是房子的序号而是饮料种类（比如water指定为2，等等. 而非原来的“最左边房子指定为1，它右边的指定为2”，等等），该representation与前面相比有何异同之处？
    A: violinist=3
    在新的representation中，（不含有加减号的）等式的意义仍然类似。比如如果我们指定water对应2，那么violinist=2就表示小提琴家喝水，而mid=green的含义是“中间的房子是绿色的”
    然而，这样一来从左到右的5栋房子用5个变量表示，例如left, midleft, mid, midright, right，他们之间的度量和序结构消失了，这使得"to the right", "next to"等不方便表达。这实际上相当于该问题不再是on integers，而是on symbols.

2.3 Constraint satisfaction problems on reals

  1. Q: spreadsheet的例子让你有什么有关于编程“模式”（如约束式、命令式）的感想？
    A: 例：在一些特殊条件下（一般是非常简单的case）命令式程序可以很容易地与约束式程序相互转化。此处的例子中可以用命令式程序依次求解出\(D4,D5,E7,E8\).
    但是比如说已知其它求\(B5\)，那就不能直接地把约束式转化成命令式。而公式中若出现条件判断，带条件判断的循环等，就反过来比较难把命令式转化成约束式。
  2. Q: 对于找多项式零点的问题，我们把原始CSP转化成什么，作为所谓“解”，来规避什么问题？
    A: 转化成等价的数个interval CSPs即
    \(\langle f(x)=0;x\in[l,r]\rangle\)，其中\(x\in\mathbb R;l,r\in F\).
    \(F\)是计算机可表示的浮点数集，特别地，包括\(\pm \infty\).
    当\(r-l\)足够小，我们可以认为近似找到了解。
    规避问题：计算机能表示的实数是有限的，且方程未必有根式解。
    注：容易理解的是，如果理想中的一台计算机能表示无限个（所有的）实数，那么就肯定不需要interval CSPs. 另一方面，如果确保方程有根式解，那么其实也可以尝试用计算机精确表示解。虽然仍然只能表示有限个数，但是只要合理地设定一个足够大的集合，那么也是有可能在实际应用中足够的。因此这两个问题综合起来才是我们需要interval CSPs的原因。