摘要：哥德尔证明 Q: 不完全性表达为（）不能推出（）。 这里的$\models$是“朴素认为的真理”，并不是标准模型中的。直观确实直观，但是要说清楚要费工夫（这是直观模型，不是形式化的） 哥德尔证明需要构造出（）中为真的某个$\mathscr U$ A: \(\models \mathscr A\)，\ 阅读全文

摘要：5 数学基础 5.4 一阶算术 Q: 如何理解“算术化”和$\mathbb H\Rightarrow \mathbb C\Rightarrow \mathbb R\Rightarrow \mathbb Q\Rightarrow \mathbb Z\Rightarrow \mathbb N$？ A: 阅读全文

摘要：5 数学基础 5.1 数学系统 Q: 一阶系统和模型分别和数学领域有什么关系？ A: 一阶系统不涉及具体语义（数学领域）。适当一阶系统，再选择特定模型作为解释，能够表达某数学领域的许多数学定理、逻辑定理。 Q: 形式主义和逻辑主义有何区别？ A: 形式主义：公理不一定是逻辑的公理（不强调一切系统都由 阅读全文

摘要：4 一阶逻辑：证明论 4.5 完全性定理 预备 Q: 完全性定理是说“真值为真推出是定理”还是“重言式是定理”？ A: 对于FOL，两者都不对。是“逻辑有效（任何解释真值为真）”推出是定理。 Q: 命题逻辑完全性定理Henkin证法：$\mathscr A$不是定理则其否定$\sim\mathscr 阅读全文

摘要：4 一阶逻辑：证明论 4.4 前束范式和子句范式 12$\vdash$之第一组 Q: 记忆第一组。$x_i$不在$\mathscr{ A}$中自由出现，则根据K（）（填编号）可以帮助记忆，写出：（）。 A: 6 \(\vdash (\forall x_i)(\mathscr{ A}\to\maths 阅读全文

摘要：4 一阶逻辑：证明论 4.2 导出规则 Q: R2是全称量词引入，R3是（），R4是（），而存在量词消去（斯科伦化）没有简单的规则。 A: 全称量词消去（注：R3其实是把公理K4, K5写成规则形式。公理一定能写成规则，反之不然。演绎定理反向一定成立，正向不一定） 存在量词引入。 Q: 解释记号$\ 阅读全文

摘要：4 一阶逻辑：证明论 4.1 形式系统 6条公理和2条规则 Q: 某个具体的一阶语言$\mathscr L$和形式系统$K_\mathscr L$有何联系？怎么理解“考虑一个固定但未具体指定的一阶语言”？ A: 给定某个一阶语言$\mathscr L$（不同的一阶语言可能有不同的字符集），就能以某些 阅读全文

摘要：3 一阶逻辑：模型论 3.5 真值 Q: 真值和满足有何联系与区别？ A: 满足针对赋值，真值针对解释。 解释下一切赋值都满足则“真”。一切赋值都不满足则“假”。 注：所以说对于一般的情况可以“不确定真假”。但不可能既真又假。 Q: 考察公式真值关于$\to,\sim$的性质（强调：这并不是真值定义 阅读全文

摘要：3 一阶语言：模型论 3.3 解释 Q: 为什么要解释非逻辑符号？ A: 非逻辑符号（函项符、谓词符）依赖于具体的应用背景，可以有不同的意思。在实际应用中，我们需要确定对$n$元谓词符，每个可能的$n$元组合是否满足该谓词；也需要确定对$n$元函项符，每个可能的$n$元组合映射到什么对象。这样才能确 阅读全文

摘要：3 一阶逻辑：模型论 3.2 一阶语言 哥德尔编码 Q: 如何用一个自然数，编码自然数的有序对？ A: 可以使用$2a 3b$，也可以在二维平面上从原点开始以“蛇形”给每个自然数为坐标的点编号。 注：前者会导致许多自然数没有对应的有序对，不是一一对应。但叙述起来较简单。 如果既要一一对应又要叙述简单 阅读全文

摘要：3 一阶逻辑：模型论 3.1 谓词和量词 Q: 为什么说命题逻辑$L$的表达能力不够？ A: 比如难以表达“至少有一个A中元素满足某某”。 注：命题逻辑较容易表达“所有A中元素都满足某某”。 Q: 含有自由变元的陈述和命题逻辑中的命题形式有何共同点？ A: 由于变元（自由变元或者命题逻辑中命题变元） 阅读全文

摘要：2 命题逻辑：语法 2.1 形式系统 形式系统间的关系 Q: (L1)\(\mathscr A\to(\mathscr B \to \mathscr A)\) (L2)\((\mathscr A \to(\mathscr B \to\mathscr C))\to((\mathscr A \to\ma 阅读全文

摘要：2 命题逻辑：语法 2.1 形式系统 形式系统 Q: 如何理解“形式（演绎）系统中有关符号的一切行为和性质不依赖符号特定的意义和具体的性质”？用常微分方程的形式幂级数解举例阐述。 A: 提示：形式上规定针对幂级数可以逐项求微分或积分，而不考虑收敛性，从而给出常微分方程的形式幂级数解。 这里的演算都是 阅读全文

摘要：1 命题逻辑：语义 1.1 命题和连接符 Q: 数学语言，如“$x_0$是集合$X$的最大元”是符号语言嘛？如何把它转化为符号语言？ A: 不是。数学语言是自然语言+记号。\(x_0\in X,\forall x\in X,x\le x_0\). 注意$x_0\in X$不能遗漏！ Q: 逻辑矛盾和 阅读全文

摘要：专栏简介与声明 本专栏链接：https://www.cnblogs.com/minor-second/category/2057764.html 使用教学资料 本专栏是数理逻辑个人复习博客系列。 参考资料是林作铨老师的数理逻辑讲义（2021年秋） https://www.math.pku.edu.c 阅读全文