多因素方差分析：自由度
来源：http://blog.sina.com.cn/s/blog_60a751620101gkja.html
在脑科学中，通常采用重复测量的方式来开展研究。也就是设计不同的任务，让同一个被试都做一遍，来找出差异。这样做不仅是为了节约经费(想想如果4个条件，每个条件找20人，就得给出80人的被试费！)，另一方面也是尽量将个体差异进行控制，因为不管是EEG/ERP、还是fMRI，都是噪声富聚的信号，而且个体差异也是非常大的。
图1 要点在于被试间和被试内进行分解
当然，重复测量也有其弊端，如滞留效应，潜隐效应和学习效应，这里不展开来说。重复测量方差分析可以说是我们最常用到的工具。比如：要研究不同情绪图片，在回忆和再认任务中在各个电极上theta波的差异。那就是一个情绪(高兴、悲伤和中性)×任务(回忆、再认)×电极(4个电极)实验，即3因素方差分析。如果把被试分为两组，分别完成回忆和再认任务，这就更复杂了，成了混合设计的3因素方差分析。比较可悲的是，翻阅很多教科书，都重点讲单因素方差分析，或者是完全随机设计的方差分析。对我们常用的重复测量多因素方差分析，保持了集体的沉默。看了许多研究报告，发现同学们在写F(x,y)=???, P=???，通常把自由度x,y写错。这里我总结一下常用的实验设计如何确定自由度，希望对大家实践有帮助。
(注意本讲义不包括因素无交互作用的情况，亦不包括自由度要矫正的情况！)
分解要诀：
方差分析多因素
先看设计定思路
重复与否是关键
项目数定总自由度
先把被试来数数
定出被试间自由度
混合设计要小心
组间因素分解出
被试内有自由度
总减被试间可得出
定下被试内因素
误差自然不会误
核心思想：
把总自由度分解为被试间(between subject)自由度和被试内(within subject)自由度
1. 重复测量单因素方差分析
被试数:n 组内因素：a
总自由度：an-1
被试间自由度:n-1
被试内自由度：n(a-1)
*因素：a-1
*因素×被试间：(n-1)(a-1)
生成的结果：
F(a-1,(n-1)(a-1))
2. 重复测量2因素方差分析
被试数:n 组内因素：a,b
总自由度：abn-1
被试间自由度：n-1
被试内自由度：n(ab-1)
*因素a：a-1
*因素b：b-1
*交互：(a-1)(b-1)
*因素a×被试间：(n-1)(a-1)
*因素b×被试间：(n-1)(a-1)
*因素a×因素b×被试间：(n-1)(a-1)
生成的结果：
F(a-1,(n-1)(a-1))
F(b-1,(n-1)(b-1))
F((a-1)(b-1),(n-1)(a-1)(b-1))
3. 混合设计(既有组间，又有组内的)2因素方差分析
被试数:n 组间因素：a 组内因素：b
总：abn-1
被试间:an-1
*组间因素:a-1
*被试:a(n-1)
被试内：an(b-1)
*组内因素：b-1
*组内×组间：(a-1)(b-1)
*误差：a(b-1)(n-1)
生成的结果：
F(a-1,a(n-1))
F(b-1,a(b-1)(n-1))
4. 重复测量3因素方差分析，这在脑科学研究中非常常用！
被试数:n 组内因素：a,b,c
总：abcn-1
被试间：n-1
被试内：n(abc-1)
*因素a：a-1
*因素b：b-1
*因素c：c-1
*交互ab：(a-1)(b-1)
*交互bc：(b-1)(c-1)
*交互ac：(a-1)(c-1)
*交互abc：(a-1)(b-1)(c-1)
*因素a×被试间：(a-1)(n-1)
*因素ab×被试间：(a-1)(b-1)(n-1)
*因素abc×被试间：(a-1)(b-1)(c-1)(n-1)
生成的结果：
F(a-1,(a-1)(n-1))
F(b-1,(b-1)(n-1))
F((a-1)(b-1),(a-1)(b-1)(n-1))
F((a-1)(b-1)(c-1),(a-1)(b-1)(c-1)(n-1))
5. 混合设计(既有组间，又有组内的)3因素方差分析
如果a因素处理的学习效应很强，无法采用方案4，通常采用方案5来避免学习效应，因此，本方案在脑科学研究中也很常用！
被试数:n 组间因素：a 组内因素：b,c
总：abcn-1
被试间：an-1
*组间因素a: a-1
*被试：a(n-1)
被试内自由度：an(bc-1)
*组内因素b：b-1
*组内因素c：c-1
*交互ab：(a-1)(b-1)
*交互bc：(b-1)(c-1)
*交互ac：(a-1)(c-1)
*交互abc：(a-1)(b-1)(c-1)
*误差：a(bc-1)(n-1)
生成的结果：
F(a-1,a(n-1))
F(b-1,a(bc-1)(n-1))
6. 注意和完全随机设计的区别
举例如下：
被试数:abn 组间因素：a,b
如果把abn个被试随机分到a,b两个因素下,就构成了完全随机设计的2因素方差分析。
分解顺序和重复测量也不同，没有被试间和被试内这一步，变成了直接进行处理间和处理内分解。
总自由度：abn-1
处理间:ab-1
*因素a：a-1
*因素b：b-1
*交互ab：(a-1)(b-1)
*处理内：ab(n-1)
生成的结果：
F(a-1,ab(n-1))
F(b-1,ab(n-1))
7. 如果把abcn个被试随机分到a,b,c三个因素下,就构成了完全随机设计的3因素方差分析。
直接进行处理间和处理内分解。
总：abcn-1
处理间:abc-1
*因素a：a-1
*因素b：b-1
*因素c：c-1
*交互ab：(a-1)(b-1)
*交互bc：(b-1)(c-1)
*交互ac：(a-1)(c-1)
*交互abc：(a-1)(b-1)(c-1)
*处理内：abc(n-1）
生成的结果：
F(a-1,abc(n-1))
F(b-1,abc(n-1))
给出了以上自由度，我们来证明一个观点：“同样的实验因素和每个处理下的被试量，完全随机比混合设计自由度高，混合设计比重复测量自由度高”。取3因素方差分析为例：
完全随机：a和b
F(a-1,abc(n-1))
F(b-1,abc(n-1))
混合设计：组间a和组内b
F(a-1,a(n-1))
F(b-1,a(bc-1)(n-1))
重复测量：a和b
F(a-1,(a-1)(n-1))
F(b-1,(b-1)(n-1))
可以看到，对于a因素：abc(n-1)>a(n-1)>(a-1)(n-1)；
对于b因素：abc(n-1)>a(bc-1)(n-1)>(b-1)(n-1)；
所以上面的观点是成立的。还可以看到，对于混合设计：a(n-1)<=a(bc-1)(n-1)，也就是在a=b时，组内条件比组间条件自由度大。
下面是做anova的matlab命令，注意matlab软件自带的命令只提供完全随机设计方差分析，要做重复测量方差分析需要到mathworks官网下载
1. 完全随机设计单因素方差分析
anova1
2. 完全随机设计两因素方差分析
anova2
3. 完全随机设计多因素方差分析
anovan
4. 重复测量单因素方差分析
5. 重复测量两因素方差分析
6. 重复测量三因素方差分析
点击命令可直接下载
下面是实验数据统计分析的常规路线图
