《波动解读—指标拆解的加减乘除双因素》

好好在之前的沉淀中，有提到如何设计指标和如何搭建指标体系。

图1：指标与指标体系相关概念（详见上述超链接推文）

当我们有了指标体系，开始用指标量化的方式，来描述、追踪、推动业务时，很自然地就产生了一项工作——对指标进行解读，尤其是对波动进行解读。

一、指标解读的类型

对指标的解读，按照顺序，可以分为2步：判断与归因。首先，当我们要解读指标变动时，要给出一个判断，这个变动是不是个问题。如果是个问题，第二步我们要做的就是判断问题出在哪里。

判断：对指标进行判断类解读，是指当一个指标在某个水平，或变化时，给出一些判断，例如：指标的现状是好还是坏？是不是个问题？需不需要解决？
归因：对指标进行归因类解读，是指当一个指标在某个水平，或变化时，给出一些解释，例如：这个现状是由哪些因素构成的？这个变化是由哪些因素导致的？主因是什么？

判断类的解读，可以用“一量三比”^[1]的方法进行初步地处理。现在假设，我们已经判断某个指标存在问题了，应该如何对这个问题进行归因呢？

Boss：
这阵子我们的业务出了一些问题；
可是我也不太清楚问题出在哪里？
那冷冷冰冰的指标，不剩多少意义。
就当我求求你，给我一些说明！

二、因果推断的层次与对应的方法

对问题的归因，按照顺序，可以分为2步：明确目标与选定方法。

明确目标：首先，我们要明确希望得到什么程度的结论，以及对这个结论的确定性有怎么样的期待。根据期望得到的结论与期望的可靠程度，我们可以将“归因”分为3个层次。分别为：猜测性因果推断、可能性因果推断、确定性因果推断。

这里举个例子，说明一下这3类推断的含义：
确定性：
例如，现在公司本季度的销售业绩不达标，我们想要找到最拖后腿的10%的小组，这就是一个希望得到“确定性因果推断”的例子。
可能性：
如果，我们现在想要知道的是，是哪些因素导致了团队业绩不达标（例如是出勤情况不佳导致，还是面访执行不佳导致），这就是一个“可能性因果推断”的例子。因为，通常而言，这种多个因素之间的因果关系判断，不是确定性的。
猜测性：
假设，我们通过数据探查发现，所有小组的出勤情况都不错，面访执行率也不差，其他能数据验证的因素都没有得出有价值的结论。在实际的工作场景中，我们可能会猜测：是不是由于最近疫情影响了消费者的消费能力？是不是竞对最近有了力度更大的促销活动？这就是“猜测性因果推断”。
使用“猜测性因果论断”时，要注意两点：不要不敢猜测；不要只会猜测。第一，不要拘泥于数据岗位的职责，只敢给数据判断，不敢给业务判断；“猜测性因果推断”也是信息增量。第二，“猜测性因果推断”不是纯粹的通过数据证明的结论，因此给出“猜测”并不是分析的终点，而是起点。当我们有了猜测之后，要尽可能地通过数据的手段去还原与验证结论。

选定方法：不同层次的因果推断，对应的是不同的数据分析方法。

【图3：3类因果推断对应的方法示例】

本文要介绍的是“确定性因果推断”中的“指标拆解”。其他各类方法的介绍，参见《4类数据分析问题对应的解决方案》。

三、指标拆解的5种方式

“贫僧唐三藏，自东土大唐而来，欲往西天拜佛求经。今日路过宝刹，见天色已晚，想在贵地借宿一晚，化些斋饭，明早便行。” —— 唐僧

真挚的友谊来自不断的自我介绍，唐三藏每次出场的自我介绍，都回答了人生的四大问题：

我是谁？（唐三藏）
自何处来？（东土大唐）
往何处去？（西天取经）
怎么去？（借宿一宿，明早便行。）

对于指标而言，同样存在着4个问题：

我是谁：现状是怎么构成的？
自何处来：变化是怎么构成的？
往何处去：未来会怎么变化？
怎么去向美好未来：要实现指标向好，该怎么做？

要回答这4个问题，我们必须要从静态和动态两个方面，对指标进行解读。简单而言，就是我们不仅要解释 $X$ ，还要解释 $\Delta X$ 。

并且，根据不同的指标设计，我们需要采用不同的拆解方式。

以下归纳了6种常用的指标拆解方式，可以基本覆盖问题定位、贡献计算等工作场景的需要。也欢迎大家补充没有覆盖的工作场景与拆分方法。

1. 加法拆解 $+$

对于绝对量指标的维度拆解，我们可以用加法拆解。

假设，要解读的绝对量指标为 $X$ ，例如新增保费收入。通过维度拆解，例如按城市拆解，可以分为n个城市的新增保费收入 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 到 $x_{n}$ 。

那么当我们要分析目前的业绩达成构成的时候，可以用静态的加法拆解。

（1）静态加法拆解 $X = x_{1} + x_{2} + x_{3} + ... + x_{n}\\$ 当我们需要分析同比量的变化时，可以用动态的加法拆解。

（2）动态加法拆解（单因素拆解）

$\Delta X =\Delta x_{1} +\Delta x_{2} +\Delta x_{3} + ... + \Delta x_{n}\\$

$\Delta X = X^{1} - X^{0}\\$

$\Delta x_{i} = x_{i}^{1} - x_{i}^{0}\\$

那么如果要分析同比变化，各个城市的贡献是多少的时候应该怎么计算呢？

表1：分城市保费达成情况示例

大家可以先双击屏幕，暂停思考一下，再继续查看参考的解决方案。

因为绝对量指标的同比变化，就是各个分项指标变化的求和，所以各个分项对整体同比变化的贡献 $C_i$ 可以依据下式计算： $C_i = \frac{\Delta x_i}{ X_0} \\$

实测如下：

图2：分城市保费达成贡献测算

2. 减法拆解 $-$

对于通过（加）减法设计出的衍生指标，我们可以用减法拆解。

假设，要解读的绝对量指标为 $P$ ，例如利润。通过指标拆解，可以将其分为收入 $I$ 、成本 $C$ 与费用 $F$ 。

那么当我们要分析利润过低，是由于哪个因素导致的时候，可以使用静态减法拆解。

（1）静态减法法拆解 $P = I - C -F \\$ 当我们要分析利润降低的原因时，可以使用动态减法拆解。

（2）动态减法拆解

$\Delta P = \Delta I - \Delta C - \Delta F \\$

$\Delta P = P^{1} - P^{0}\\$

$\Delta C = C^{1} - C^{0}\\$

$\Delta F = F^{1} - F^{0}\\$

3. 乘法拆解 $\times$

对于通过涉及到流程链路的指标，我们可以用乘法拆解。

（1）静态乘法拆解

假设，要解读的衍生指标为 $Y$ ，例如新增成交用户数。依据流程分析的思路，将其分为了4个漏斗节点：获取用户、用户激活、用户留存、用户购买。我们用四个指标来衡量这四个节点的表现：新增用户量 $N$ 、新用户激活率 $A$ 、激活用户3日留存率 $S$ 、留存用户购买率 $P$ 。现在我们就有了

$Y = N \times A \times S \times P \\$

通过这样的拆解，我们就能知道每个节点的业务表现如何。那么如何衡量哪个节点更加重要呢？

（2）动态乘法拆解（敏感性分析与 LMDI乘积因子拆解）

这里介绍2种方法：敏感性分析法与LMDI乘积因子拆解法

敏感性分析

这个方法的核心思想是，通过推算每个因子某种程度上的波动，会对目标函数（指标）产生的影响的大小，来衡量它的重要性 $I$ 。

以留存购买率 $P$ 为例，当 $P$ 变动 $\Delta P$ 时，对 $Y$ 的影响大小为：

$I_{P} = \left| \frac{Y^1 - Y^0}{Y^0} \right|= \left| \frac{ N \times A \times S \times (P + \Delta P) - N \times A \times S \times P }{ N \times A \times S \times P}\right|\\$

$I_{P} = \left| \frac{ N \times A \times S \times \Delta P }{N \times A \times S \times P} \right|\\$

$I_{P} = \left| \frac{ \Delta P }{ P} \right|\\$

因此在乘积拆解的公式当中，每个因素的重要性，即其对目标函数 $Y$ 的影响，与其自身的变化率是等价的。以上是，只有2期数据的简单情况。

当我们的历史数据有n个数据点时，我们可以用每个因子的变异系数 $c_{i}$ ，来衡量它的变化程度，进而衡量这个因子的重要性。

$I_{i} =c_{i} = \frac{\sigma_{i}}{ \mu_{i}} \\$

其中， $\sigma_{i}$ 是变量 $i$ 的标准差， $\mu_{i}$ 是 $i$ 的平均值。

证明：略。

以上就通过控制变量的方式，对每个因子对于整体指标 $Y$ 的影响作出了一个刻画。

但是有经验的同学，会很自然的想到一个问题：以上的推演，是单变量变化的情况；但事实上， $Y$ 的变化由4个因子影响，而且通常而言它们是同时变化，共同影响结果的。如果采用敏感性分析的方法，能把这种情况解释清楚吗？

很遗憾，不能。

通过敏感性分析的方式，测算每个因子对于目标函数 $Y$ 的影响后求和，不等于4个因素对于目标函数 $Y$ 的整体影响。

表3：敏感性分析测算实例

那么如何才能解决这个问题呢？

LMDI（Logarithmic Mean Index Method）乘积因子拆解

回顾一下我们的问题：我们有一个结果指标新增成交用户数 $Y$ 。它由4个结果指标构成，分别为：新增用户量 $N$ 、新用户激活率 $A$ 、激活用户3日留存率 $S$ 、留存用户购买率 $P$ 。

$Y = N \times A \times S \times P \\$

我们希望，通过计算因子波动对结果指标 $Y$ 的影响，来衡量这4个指标的重要性如何。

或是另外一个非常常见的工作场景，Y发生了较大的波动。我们希望通过指标拆解，清楚地说明，各个因素的变动对整体的波动产生了什么样的影响。

首先我们通过LMDI算法计算 $\Delta Y$ 中，新增用户量 $N$ 贡献了多少( $C_{N}$ )、新用户激活率 $A$ 贡献了多少 ( $C_{A}$ ）、激活用户3日留存率 $S$ 贡献了多少( $C_{S}$ ）、留存用户购买率 $P$ 贡献了多少（ $C_{P}$ ）。

$C_{N} = L(Y^{1},Y^{0}) \ast ln(\frac{N^1}{N^0})\\$ $C_{A} = L(Y^{1},Y^{0}) \ast ln(\frac{A^1}{A^0})\\$ $C_{R} = L(Y^{1},Y^{0}) \ast ln(\frac{R^1}{R^0})\\$ $C_{P} = L(Y^{1},Y^{0}) \ast ln(\frac{P^1}{P^0})\\$

其中 $L(Y^{1},Y^{0})$ 为平均对数权重（Logarithmic Weight Average）

$L(Y^{1},Y^{0}) = \frac{Y^1-Y^0}{ln(Y^1) - ln(Y^0)} = \frac{\Delta Y}{ln(Y^1) - ln(Y^0)}\\$

然后我们计算这4个因子对整体变化率的贡献，即重要性。

$I_N = \frac{C_N}{Y^0} \\$ $I_A = \frac{C_A}{\Delta Y} \\$ $I_R = \frac{C_R}{\Delta Y} \\$ $I_P = \frac{C_P}{\Delta Y} \\$

实测如下：

表4：LMDI乘积因子拆解测算实例

证明参见：
[1] Ang, Beng W., F. Q. Zhang, and Ki-Hong Choi. "Factorizing changes in energy and environmental indicators through decomposition." Energy 23.6 (1998): 489-495.
[2] Ang B W . The LMDI approach to decomposition analysis: a practical guide[J]. Energy Policy, 2005, 33(7):867-871.

该算法有2个显著的优点：

i. MECE（不重不漏）：

通过LMDI对各个因子变动的影响进行测算后，对各个因子的贡献求和，会等于整体指标 $Y$ 的变化率，不会存在解释不清楚的部分。

证明：

$C_N + C_A + C_R + C_P$
$= L(Y^{1},Y^{0}) \ast (ln(\frac{N^1}{N^0})+ln(\frac{A^1}{A^0})+ln(\frac{R^1}{R^0})+ln(\frac{P^1}{P^0}))$
$= L(Y^{1},Y^{0}) \ast ln(\frac{N^1}{N^0}\cdot\frac{A^1}{A^0}\cdot\frac{R^1}{R^0}\cdot\frac{P^1}{P^0})$
$= \frac{Y^1-Y^0}{ln(Y^1)-ln(Y^0)}*ln(\frac{N^1A^1R^1P^1}{N^0A^0R^0P^0})$
$= \frac{Y^1-Y^0}{ln(Y^1)-ln(Y^0)}*ln(\frac{Y^1}{Y^0})$
$=\frac{Y^1-Y^0}{ln(Y^1)-ln(Y^0)}*(ln(Y^1)-ln(Y^0))$
$=Y^1 -Y^0 = \Delta Y$

ii. 计算独立：

有些聪明的同学，在工作中会对敏感度分析法进行改良，采用逐步替代因子变化率的方式计算贡献度。例如先假设新增用户量 $N$ 变动，计算 $N$ 的贡献率；再在 $N$ 变动的基础上，假设新用户激活率 $A$ 变动，计算 $A$ 的贡献率。以此类推，计算4个因子的贡献率。这样也可以达成MECE的目的。

但这会导致一个新的问题，贡献率的多寡，依赖于替代的次序。同一个因子，因计算的替代顺序不同，会计算出不同的贡献率。这是逐步替代法很难解释的部分。而采用LMDI，每个因子的贡献率计算过程是相互独立的。无论先算哪个结果都一样。

4. 除法拆解 $\div$

对于涉及到多个因素、包含关系等的比例指标，我们可以使用除法拆解。

（1）静态除法拆解（乘一法）

假设，要解读的衍生指标为 $E$ ，例如呼叫中心的单位人员效率。依据目前的定义：单位人员效率等于员工的实际服务量 $W$ ，除以员工的上班时长 $T$ 。

$E = \frac{W}{T}\\$

单位人员效率，是不少客服中心的核心KPI；但运营起这个核心指标却不是件容易的事，原因有二。

第一，影响这个指标的达成的因素较多，如服务的需求量、员工的能力、排班的优劣等等。
第二，这些因素通常有可控因素，也有不可控因素；即使是内部可控的因素，也可能因为组织架构、生产关系等原因，归属与不同的团队职能，非常容易扯皮。

那么这个问题该如何解？我们可以通过除法拆解的方式，对影响因素进行拆解。进而帮助团队，做到管理学上的“权责对等”与“责任到人”。为了利于业务的同学理解，好好称这个方法为“乘一法”。

首先，我们将客服上班时间中的直服排班时间（直接服务客户）与综合工作时间（如数据标注、培训等等）区分清楚。

$E = \frac{实际服务量（W）}{上班时间（T）}\ast 1 = \frac{实际服务量（W）}{上班时间（T）}\ast \frac{直服排班时长（D）}{直服排班时长（D）} \\$

拆分除法，交换分母。

$E = \frac{实际服务量（W）}{直服排班时长（D）}\ast \frac{直服排班时长（D）} {上班时间（T）} \\$

然后，我们将排班时间中的在线时长与非在线时长区分清楚。

$E = \frac{实际服务量（W）}{直服排班时长（D）}\ast 1 \ast \frac{直服排班时长（D）} {上班时间（T）} \\$

$E = \frac{实际服务量（W）}{直服排班时长（D）} \ast \frac{在线时长（O）}{在线时长（O）} \ast \frac{直服排班时长（D）} {上班时间（T）}\\$

拆分除法，交换分母。

$E =\frac{实际服务量（W）}{在线时长（O）} \ast \frac{在线时长（O）}{直服排班时长（D）} \ast \frac{直服排班时长（D）} {上班时间（T）}\\$

接着，我们将在线时长中的在线服务时长与候线时长区分清楚。

$E =\frac{实际服务量（W）}{在线时长（O）} \ast 1\ast \frac{在线时长（O）}{直服排班时长（D）} \ast \frac{直服排班时长（D）} {上班时间（T）}\\$

$E =\frac{实际服务量（W）}{在线时长（O）} \ast \frac{在线服务时长（R）}{在线服务时长（R）}\ast \frac{O}{D} \ast \frac{D} {T}\\$

拆分除法，交换分母。

$E =\frac{实际服务量（W）}{在线服务时长（R）} \ast \frac{在线服务时长（R）}{在线时长（O）}\ast \frac{O}{D} \ast \frac{D} {T}\\$

最后我们将拆分出来各类因素，设计成新的指标，并找到与之对应的责任人。

$E =\frac{W}{T}=\frac{W}{R} \ast \frac{R}{O}\ast \frac{O}{D} \ast \frac{D}{T} \\$

$\frac{W}{R}=\frac{实际服务量}{在线服务时长} = 客服服务能力\\$

$\frac{R}{O}=\frac{在线服务时长}{在线时长} = 有效排班率\\$

$\frac{O}{D}=\frac{在线时长}{直服排班时长} = 客服遵时率\\$

$\frac{D}{T}=\frac{直服排班时长}{上班时长} = 直服工作调控比例\\$

客服服务能力与客服遵时率，责任归属与服务运营团队；有效排班率，责任归属与资源运营团队；直服工作调控比例，责任归属于管理团队。

通过除法拆解的方式，将一个结果指标拆分为多个运营指标，做到“权责对等”与“责任到人”。

每次当业务的同学或管理层感叹“这个指标的问题非常复杂。”、“涉及的因素比较多”，而各个因素的影响又没有量化清楚的时候，就是数据同学大显身手的时候了。
不妨尝试一下用“乘一法”拆解这个问题。

（2）动态除法拆解

当我们对指标完成静态的除法拆解之后，动态的拆解方法同“乘法”：敏感性分析法、LMDI乘积拆解法。

5. 双因素拆解

在加法拆解的部分中，我们有介绍对于绝对数指标的“单因素拆解法”。但是很多时候，我们要解读的并不是绝对数指标，而是相对数指标，例如转化率、好评率等等。那么当我们需要对相对数指标进行维度拆解，变动归因的时候，应该怎么做呢？

双因素分析^[2]是一个能够解决此类问题的非常好的算法。为什么称之为“双因素分析法”，因为相对数指标的分项对整体的贡献，受两个因素影响：

分项的相对数指标达成情况
分项在整体中所占的比重

假设，要解读的相对数指标为客户满意度（CSAT），在此满意度的定义为：

$CSAT = \frac{好评量{(s)}}{参评量(p)}\\$

目前的业务现状是，全球客户的服务由由英、日、韩、粤、普通话五条语言线承接。

$CSAT_i = \frac{s_i}{p_i}\\$

$CSAT_i = \sum_{i \in(E,J,K,C,M)}^{}{\frac{s_i}{p_i}}\\$

这里的E（English）表示英文线；J（Japanese）表示日文线；K（Korean）表示韩文线；C（Cantonese）表示粤语线；M（Mandarin）表示普通话线。各语言线参评量的占比用 $P_i$ 表示，各语言线好评量的占比用 $S_i$ 表示。

$P_i = \frac{p_i}{p}\\$ $S_i = \frac{s_i}{s}\\$

这里 $p = \sum{p_i}$ 为所有的参评量； $s = \sum{s_i}$ 为所有的好评量。

本期的满意度较上期有所下跌，我们想定位一下是哪条语言线出现了问题；各个语言线的达成，对整体达成的贡献 $C_i$ 是怎么样的。（即，按语言线维度进行维度拆解。）

这里的贡献 $C_i$ 又两部分构成：

分项的相对数指标变化的贡献 $A_i$
分项在整体中的占比变化的贡献 $B_i$

$A_i = ( CSAT_i^1 - CSAT_i^0) \ast P_i^0 = \Delta CSAT_i \ast P_i^0$ $B_i = ( P_i^1 - P_i^0) \ast (CSAT_i^1 - CSAT^0) = \Delta P_i * (CSAT_i^1 - CSAT^0)$ $C_i = A_i + B_i$

简而言之：

分项的指标波动贡献 = 满意度同比变化值 * 上期参评占比
分项的结构变化 = 占比同比变化值 * （分项本期满意度 - 整体上期满意度）

实例如下：

表5：双因素拆解测算实例

该算法对于贡献率的计算同样是MECE且相互独立的。

i. MECE：

证明：

$\sum{C_i} = \sum{(A_i+B_i)} =$
$(\sum(CSAT_i^1\cdot P_i^0) - \sum(CSAT_i^0\cdot P_i^0))$
$+((\sum(P_i^1\cdot CSAT_i^1) - \sum(P_i^1\cdot CSAT^0)-\sum(P_i^0\cdot CSAT_i^1)+\sum(P_i^0\cdot CSAT^0))$
$=\sum(P_i^1\cdot CSAT_i^1) - \sum(P_i^1\cdot CSAT^0)$
$=CSAT^1 - CSAT^0$
$= \Delta CSAT$