【题解】合唱队形——LIS坑爹的二分优化

 题目

【题目描述】
N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。
合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK，则他们的身高满足T1<...<Ti>Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。
你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。
【输入格式】
输入文件chorus.in的第一行是一个整数N，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti是第i位同学的身高(厘米)。
【输出格式】
输出文件chorus.out包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。
【样例输入】
8
186 186 150 200 160 130 197 220
【样例输出】
4
【数据规模】
对于50%的数据，保证有n<=200；
对于100%的数据，保证有n<=20000，1<=Ti<=1000000。

解析

该题本身平淡无奇，只是一个标准的LIS动态规划。但是！该题扩大了数据范围！
使得本来O（n2）的时间复杂度过不了，于是只有优化（关键是我考试时没怎么注意）。
这里便会有二分查找的优化方法。

思路

枚举中间的人i，以他为终点正向和倒向求两次LIS，用l[i]和r[i]分别表示以i结尾LIS长度。然后ans = n - l[i] + r[i] + 1;

注意到N <= 20000，所以必须使用logN的算法求LIS
使用d[]临时存储LIS，依次将序列中的数a[i]按以下条件加入d[]中：如果a[i] > d[len]（d[len]是d[]中的最后一个数），则d[++len] = a[i]，否则在d[]中找第一个比a[i]**大或等(必须取到=，否则相同的数将不被替换,而是替换成了第一个比它大的数** )的数，将其替换，这样做的目的是使d[]更有可能成为一个更长的序列。我们注意到d[]是一个递增的序列，则在完成查找时可使用二分的方法。
注意在这个过程中存储l[i]和r[i]

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

int a[20001],l[20001],r[20001],rem[20001];
int n;

int main()
{
    freopen("chorus.in","r",stdin);
    freopen("chorus.out","w",stdout);
    
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)    cin>>a[i];
    
    int len=0;    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]>rem[len])
        {
            rem[++len]=a[i];
            l[i]=len;
        }
        else
        {
            int left=1,right=len;
            while(left<right)
            {
                int mid=(left+right)/2;
                if(rem[mid]>=a[i])right=mid;
                //此处必须取到=，否则相同的数将不被替换,而是替换成了第一个比它大的数
                else left=mid+1;
            }
            rem[left]=a[i];
            l[i]=left;
        }    
    }
    
    memset(rem,0,sizeof(rem));

    len=0;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
    
        if(a[i]>rem[len])
        {
            rem[++len]=a[i];
            r[i]=len;
        }
        else
        {
            int left=1,right=len;
            while(left<right)
            {
                int mid=(left+right)/2;
                if(rem[mid]>=a[i])right=mid;
                //此处必须取到=，否则相同的数将不被替换,而是替换成了第一个比它大的数
                else left=mid+1;
            }
            rem[left]=a[i];
            r[i]=left;
        }    
    }
    
    int maxx=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        maxx=max(maxx,l[i]+r[i]-1);
    
    cout<<n-maxx<<endl;
    return 0;
}