【数论基础】素数判定和Miller Rabin算法

判断正整数p是否是素数

方法一 朴素的判定   

方法二 线筛　

对于大整数（>1e9），可以优化

方法三 利用费马小定理

假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1(mod p)。

即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

我们这样写：a*a^(p-2) ≡1(mod p)

根据定义，a^(p-2)就是a (模p)的逆元

 

那么反过来，随机整数a能使p满足a^(p-1) ≡1(mod p)的话，那么p就是质数？

当然不是，虽然很大可能是，但是会有特殊的存在。

如2^340≡1(mod 341),但341=31*11

具体来说，特殊的数是费马伪素数和卡迈克尔数，这里不介绍了

 

方法四 二次探测定理

对于任意素数p， 满足方程

有唯一解 x=1||p-1

证明

 

方法五 Miller Rabin算法

逆用费马小定理加上二次探测，就得到了 Miller Rabin 算法。

Miller Rabin 算法有一定的出错概率，出错的情况一定是将合数判定为素数，且出错概率极低

 

对于一个奇素数（偶素数只有2嘛），显然p-1是偶数

则有推导过程如下：

 

所以算法实现过程有两步：

1.枚举k，对于每一个k，检验是否满足二次探测定理（即上面的最后一步）

2.再检验即是否满足费马小定理

 

对于任意一个p，如果通过了算法检验，则它不是素数的概率是25%

那么k轮之后，p不是素数的概率就是0.25^k，就很小了

一般8-10轮就差不多了

那么对于a的选择，可以选前面几个质数：2，3，5，7，11等，也可以用随机数

时间复杂度一般是,k为测试的轮数

//里面有龟速乘和快速幂，防越界
inline int slow_mult(int a,int b,int mod){
    int ans=0;
    while(b){
        if(b&1)    ans=(ans+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

inline int quick_pow(int a,int b,int mod){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)    ans=slow_mult(ans,a,mod);
        a=slow_mult(a,a,mod);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

inline bool Miller_Rabin(int p){
    if(p==2)    return true;
    if(p==1||p%2==0)    return false;
    int u=p-1,t=0;
    while(u%2==0)    u/=2,t++;    
    for(int i=0;i<=9;i++){//我测了十次
        int a=rand()%(p-1)+1;
        int x=quick_pow(a,u,p);
        if(x==1)    continue;
        for(int j=1;j<=t;j++){
            int y=slow_mult(x,x,p);
            if(y==1 && x!=1 && x!=p-1)    return false;//二次探测定理
            x=y;//递推求2的幂 
        }
        if(x!=1)    return false;//费马小定理 
    }
    return true;
}