【数论基础】整除，同余初步，欧几里得和扩欧

这篇很杂，我是按照老师讲课顺序打的博客。分别来讲讲

1.整除

a除以非0整数b商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除或说b能整除a，记作b|a。

 

可整除性的基本性质

若a|b, a|c, 则a|(b+c)

若a|b, 那么对所有整数c, a|bc

若a|b, b|c, 则a|c

整除关系具有传递性.

2.同余

令a为整数，d为正整数，那么有惟一的整数q和r，其中0≤r<d，使得a=dq+r

可以用这个定理来定义除法：d叫除数，a叫被除数，q叫商，r叫余数。

如果两个数a,b除以一个数c的余数相等，说a和b关于模c同余，记作a≡b(mod c)

a≡b(mod c)成立的充要条件是c|(a-b)

3.欧几里得算法

先是最大公约数和最小公倍数，分别用gcd(a,b)和lcm(a,b)表示

那么有a*b==gcd(a,b)*lcm(a,b)

证明：由

可得

那么当我们要求lcm时，可以先求gcd，再求lcm。

 

再介绍欧几里得算法，又称辗转相除法，古老而强大。

而这是利用了公式gcd(a, b)=gcd(b, a mod b),

时间复杂度为O(logb)

证明：

第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc 

第二步：可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c 

第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数 

第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数≥cd，而非c，与前面结论矛盾】 

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r），得证

代码很简单：

inline int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}//辗转相除 

4.扩展欧几里得

裴蜀定理：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd(a，b)表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd(a，b)=ax+by。

而扩展欧几里得就是来求这里的x和y的

欧几里得算法的终止条件是x=1，y=0。

先理解一个思路：

设x,y和x1,y1是两组解，且满足：

n由 a*x+b*y = gcd(a,b)
a*x1+b*y1 = gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=b*x1+(a%b)*y1

n得 a*x+b*y=b*x1+(a%b)*y1

n设k=a/b,r=a%b,则r=a-k*b,代入上式得

na*x+b*y=b*x1+(a-a/b*b)*y1

na*x+b*y=a*y1+b*(x1-a/b*y1)

n得 x=y1  y=x1-a/b*y1

 

那么递归的更新条件就是x=y1，y=x1-a/b*y1

代码：

inline void ex_gcd(int a,int b){//扩展欧几里得 
    if(b==0){x=1;y=0;return ;}
    ex_gcd(b,a%b);
    int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
}
或者
inline int ex_gcd(int a,int b){
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    int tmp=ex_gcd(b,a%b);
    int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    return tmp;//这里返回的是最大公因数
}    

5.递推的预处理gcd数组

很好理解的，能看懂：

for(int i=0;i<=T;i++)    pre[i][0]=pre[0][i]=i;
for(int i=1;i<=T;i++)//预处理gcd数组
    for(int j=1;j<=i;j++)
        pre[i][j]=pre[j][i]=pre[j][i%j];

6.拓欧的应用

下一篇讲，后面好多