【数据结构】树套树——线段树套平衡树
线段树套平衡树
可能后面还会写其他类型的树套树，这里写的是线段树套平衡树。
这里看一下某谷的模板题https://www.luogu.com.cn/problem/P3380
其实作为蒟蒻，我是没有看出来树套树的，在大佬们的帮助下，我理解了思路。
其实特别好做（才怪，调了一晚上，码量很难受）
基本上就是splay和线段树的模版
对于整个的理解，就是线段数上的每个区间，都有一棵与之对应的平衡树，通过线段树找到相对应的区间后，在splay上进行操作。
其中需要改动和注意以下几个地方
1.root的存储
因为对应的是区间，所以splay中的root，现在改用一个数组来放每一个区间的根。即root[i]表示线段数上的第i个区间的splay树的根。
2.查询区间内第k大的数权值
这个函数我理解了很久，说明一下，
这个我们需要用到二分来实现，我们不能讲询问区间拆成两个区间，因为合并不了答案啊。所以我们依靠二分来实现。
了解这个函数要先细品seg_rank和Splay_rank这两个函数，这里求的ans只是区间内比k小的数的总个数，所以当ans=k-1的时候，其实已经求得答案。
但是二分中，判断条件是ans<k，因此会继续二分。最后l==r时得到的是第k位数+1。强烈建议手推几组数据，因为我也说不清楚。淦~~~
3.最后一点，码量极大（对我这种蒟蒻来说），调试的时候注意眼睛和心态
其余就没什么特别注意的，代码有注释
//这里打的是线段树上加平衡树 //即每一个线段树的节点上都有一棵splay树 #include<cstdio> #include<iostream> #include<cctype> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; inline int read(){ int s=0;bool flag=true;char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')flag=false;ch=getchar();} while(isdigit(ch)){s=(s<<3)+(s<<1)+ch-'0';ch=getchar();} return flag?s:-s; } inline void print_ans(int x){ if(x<0)putchar('-'),x=-x; if(x>9)print_ans(x/10); putchar(x%10+'0'); } inline void print(int x){print_ans(x),puts("");} #define Max(a,b) a=max(a,b) #define Min(a,b) a=min(a,b) const int N=4e6+5; const int inf=2147483647; int MAX,n,m,ans,w[N]; //----------上面是基础数据，输入优化等乱七八糟的东西 int tot,root[N]; struct Splay_tree{int son[2],val,size,cnt,father;}T[N]; #define ls(x) T[x].son[0] #define rs(x) T[x].son[1] #define val(x) T[x].val #define sze(x) T[x].size #define cnt(x) T[x].cnt #define fa(x) T[x].father //不为别的，看小括号比看中括号爽 inline void Splay_update(int x){ sze(x)=(ls(x)?sze(ls(x)):0)+(rs(x)?sze(rs(x)):0)+cnt(x); } inline void Splay_clear(int x){ls(x)=rs(x)=fa(x)=cnt(x)=sze(x)=val(x)=0;} inline void Splay_rotate(int x){ int y=fa(x),z=fa(y); int jud_x=(rs(y)==x),jud_y=(rs(z)==y); int w=T[x].son[jud_x^1]; T[y].son[jud_x]=w;if(w) fa(w)=y; if(z)T[z].son[jud_y]=x;fa(x)=z; T[x].son[jud_x^1]=y;fa(y)=x; Splay_update(y),Splay_update(x); } inline void Splay_splay(int id,int x,int goal=0){ while(fa(x)!=goal){ int y=fa(x),z=fa(y); if(z!=goal)(ls(z)==y)^(ls(y)==x)?Splay_rotate(x):Splay_rotate(y); Splay_rotate(x); } if(!goal) root[id]=x; } inline int Splay_find(int id,int x){ int u=root[id]; while(x){ if(val(u)==x){Splay_splay(id,u);return u;} u=T[u].son[x>val(u)]; } return 0; } inline void Splay_insert(int id,int x){ int u=root[id]; if(!root[id]){ root[id]=u=++tot; ls(u)=rs(u)=0,val(u)=x,sze(u)=cnt(u)=1,fa(u)=0; return ; } int pre=0; while(true){ if(val(u)==x){cnt(u)++;Splay_update(pre);break;} pre=u,u=T[u].son[x>val(u)]; if(!u){ u=++tot; T[pre].son[x>val(pre)]=u; ls(u)=rs(u)=0,val(u)=x,sze(u)=cnt(u)=1,fa(u)=pre; Splay_update(pre);break; } } Splay_splay(id,u); } inline int Splay_rank(int id,int k){ //以线段树上的id节点为根的splay树上寻找权值k的排名 int x=root[id],sum=0; while(x){ if(val(x)==k) return sum+(ls(x) ? sze(ls(x)) : 0); else if(val(x)<k){ sum+=(ls(x) ? sze(ls(x)) : 0)+cnt(x); x=rs(x); } else x=ls(x); } return sum; } inline int Splay_Getpre(int id,int x){ int u=root[id]; while(u){ if(val(u)<x){Max(ans,val(u));u=rs(u);} else u=ls(u); } return ans; } inline int Splay_Getsuf(int id,int x){ int u=root[id]; while(u){ if(val(u)>x){Min(ans,val(u));u=ls(u);} else u=rs(u); } return ans; } inline int Splay_pre(int id){int x=ls(root[id]);while(rs(x))x=rs(x);return x;}//根节点的前驱，用于delete操作 inline void Splay_delete(int id,int x){ int u=Splay_find(id,x); if(cnt(u)>1){cnt(u)--;Splay_update(u);return ;} if(!ls(u) && !rs(u)){Splay_clear(root[id]);root[id]=0;return ;} if(!ls(u)){root[id]=rs(u),fa(rs(u))=0;return ;} if(!rs(u)){root[id]=ls(u),fa(ls(u))=0;return ;} int Pre=Splay_pre(id),Father=root[id]; Splay_splay(id,Pre,0); rs(root[id])=rs(Father); fa(rs(Father))=root[id]; Splay_clear(Father),Splay_update(root[id]); } //----------上面是关于splay的函数，下面是关于segment tree的函数 #define lc (id<<1) #define rc (id<<1|1) #define mid ((l+r)>>1) inline void seg_insert(int id,int l,int r,int pos,int k){ Splay_insert(id,k); if(l==r) return ; if(pos<=mid) seg_insert(lc,l,mid,pos,k); else seg_insert(rc,mid+1,r,pos,k); } inline void seg_rank(int id,int l,int r,int L,int R,int k){ //在整棵线段树上找到该splay的区间 if(l==L&&r==R){ans+=Splay_rank(id,k);return ;} if(R<=mid) seg_rank(lc,l,mid,L,R,k); else if(L>mid) seg_rank(rc,mid+1,r,L,R,k); else seg_rank(lc,l,mid,L,mid,k),seg_rank(rc,mid+1,r,mid+1,R,k); } inline void seg_modify(int id,int l,int r,int pos,int k){ //单点修改权值，splay同时更新 Splay_delete(id,w[pos]);Splay_insert(id,k); if(l==r){w[pos]=k;return ;} if(pos<=mid) seg_modify(lc,l,mid,pos,k); else seg_modify(rc,mid+1,r,pos,k); } inline void seg_pre(int id,int l,int r,int L,int R,int k){ //查询权值为k的前驱 if(l==L&&r==R){Max(ans,Splay_Getpre(id,k));return ;} if(R<=mid) seg_pre(lc,l,mid,L,R,k); else if(L>mid) seg_pre(rc,mid+1,r,L,R,k); else seg_pre(lc,l,mid,L,mid,k),seg_pre(rc,mid+1,r,mid+1,R,k); } inline void seg_suf(int id,int l,int r,int L,int R,int k){ //查询权值为k的后驱 if(l==L&&r==R){Min(ans,Splay_Getsuf(id,k));return ;} if(R<=mid) seg_suf(lc,l,mid,L,R,k); else if(L>mid) seg_suf(rc,mid+1,r,L,R,k); else seg_suf(lc,l,mid,L,mid,k),seg_suf(rc,mid+1,r,mid+1,R,k); } //----------其他情况的函数 inline int search_value(int L,int R,int kth){ //寻求L，R区间第k大的数，即区间第k大 int l=0,r=MAX+1,m; while(l<r){ m=(l+r)>>1;ans=0; seg_rank(1,1,n,L,R,m); if(ans<kth) l=m+1; else r=m; } return l-1; } signed main(){ n=read(),m=read();MAX=-inf; for(int i=1;i<=n;i++){ w[i]=read(); seg_insert(1,1,n,i,w[i]); Max(MAX,w[i]); } while(m--){ int opt=read(); switch(opt){ case 1:{//区间查k值的排名 int L=read(),R=read(),k=read();ans=0; seg_rank(1,1,n,L,R,k); print(ans+1); break; } case 2:{//区间查第k大 int L=read(),R=read(),kth=read(); print(search_value(L,R,kth)); break; } case 3:{//单点修改 int pos=read(),k=read(); seg_modify(1,1,n,pos,k); break; } case 4:{//k的前驱 int L=read(),R=read(),k=read();ans=-inf; seg_pre(1,1,n,L,R,k); print(ans); break; } case 5:{//k的后驱 int L=read(),R=read(),k=read();ans=inf; seg_suf(1,1,n,L,R,k); print(ans); break; } } } return 0; }
特别鸣谢这篇题解及其作者
https://www.luogu.com.cn/blog/Qiu/qian-tan-shu-tao-shu-xian-duan-shu-tao-ping-heng-shu-post
