时间复杂度

 分析：

1	大部分程序的大部分指令之执行一次，或者最多几次。如果一个程序的所有指令都具有这样的性质，我们说这个程序的执行时间是常数。
logN	如果一个程序的运行时间是对数级的，则随着N的增大程序会渐渐慢下来，如果一个程序将一个大的问题分解成一系列更小的问题，每一步都将问题的规 模缩减成几分之一 ，一般就会出现这样的运行时间函数。在我们所关心的范围内，可以认为运行时间小于一个大的常数。对数的基数会影响这个常数，但改变不会太 大：当N=1000时，如果基数是10，logN等于3；如果基数是2，logN约等于10.当N=1 00 000，logN只是前值的两倍。当N时原来的两倍，logN只增长了一个常数因子：仅当从N增长到N平方时，logN才会增长到原来的两倍。
N	如果程序的运行时间的线性的，很可能是这样的情况：对每个输入的元素都做了少量的处理。当N=1 000 000时，运行时间大概也就是这个数值；当N增长到原来的两倍时，运行时间大概也增长到原来的两倍。如果一个算法必须处理N个输入（或者产生N个输出）， 那么这种情况是最优的。
NlogN	如果某个算法将问题分解成更小的子问题，独立地解决各个子问题，最后将结果综合起来 ，运行时间一般就是NlogN。我们找不到一个更好的形容， 就暂且将这样的算法运行时间叫做NlogN。当N=1 000 000时，NlogN大约是20 000 000。当N增长到原来的两倍，运行时间超过原来的两倍，但超过不是太多。
N平方	如果一个算法的运行时间是二次的（quadratic），那么它一般只能用于一些规模较小的问题。这样的运行时间通常存在于需要处理每一对输入 数据项的算法（在程序中很可能表现为一个嵌套循环）中，当N=1000时，运行时间是1 000 000；如果N增长到原来的两倍，则运行时间将增长到原来的四倍。
N三次方	类似的，如果一个算法需要处理输入数据想的三元组（很可能表现为三重嵌套循环），其运行时间一般就是三次的，只能用于一些规模较小的问题。当N=100时，运行时间就是1 000 000；如果N增长到原来的两倍，运行时间将会增长到原来的八倍。
2的N次方	如果一个算法的运行时间是指数级的（exponential），一般它很难在实践中使用，即使这样的算法通常是对问题的直接求解。当N=20时，运行时间是1 000 000；如果增长到原来的两倍时，运行时间将是原时间的平方！

 log log N 可以看作是一个常数：即使N很多，两次去对数之后也会变得很小 （转自http://clarkluo2004.blog.163.com/blog/static/32973801200845115213422/）

附：log函数图象

例子：

⑴ int num1,num2;

⑵ for(int i=0; i<n; i++){

⑶ num1 += 1;

⑷ for(int j=1; j<=n; j*=2）{

⑸ num2 += num1;

⑹ }

⑺ }

分析：

⒈

语句int num1,num2；的频度为1；

语句i=0；的频度为1；

语句i<n; i++; num1+=1; j=1; 的频度为n；

语句j<=n; j*=2; num2+=num1；的频度为n*log2n；

T(n) = 2 + 4n + 3n*log2n

⒉

忽略掉T(n）中的常量、低次幂和最高次幂的系数

f(n) = n*log2n

⒊

lim(T(n)/f(n)) = （2+4n+3n*log2n) / (n*log2n)

= 2*（1/n)*（1/log2n) + 4*（1/log2n) + 3

当n趋向于无穷大，1/n趋向于0，1/log2n趋向于0

所以极限等于3。

T(n) = O(n*log2n)

简化的计算步骤

再来分析一下，可以看出，决定算法复杂度的是执行次数最多的语句，这里是num2 += num1，一般也是最内循环的语句。

并且，通常将求解极限是否为常量也省略掉？

于是，以上步骤可以简化为：

⒈ 找到执行次数最多的语句

⒉ 计算语句执行次数的数量级

⒊ 用大O来表示结果

继续以上述算法为例，进行分析：

⒈

执行次数最多的语句为num2 += num1

⒉

T(n) = n*log2n

f(n) = n*log2n

⒊

// lim(T(n)/f(n)) = 1

T(n) = O(n*log2n)