重拾几何，为什么少了一块？

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无意间逛了下某sns网站，发现这个东西，先看热闹吧

怎么少了一块呢？

为此我画了两张图

条件已经写在图上了，按视频中的意思，两个长方形长宽相同

由此我们可以获得四个条件：

两个直角梯形上底等长（加上三角形的短边等于长方形的长）

蓝色梯形的高与L形的长边等长（见右图）

绿色梯形的高与L形的长短边之和相等（见左图）

显然的，两个L形是相同的

我们设一些未知数，看图

设L形的短边为x，长边为y，高为z，同时设两个直角梯形的上底为a

如图连接两个梯形的直角顶点，作辅助线

左图可以得到 蓝色梯形下底长a+z

tan∠1 = z / y

则绿色梯形的下底长为a + (x + y) * z / y

右图可以得到 绿色梯形下底长为 a + 3 / 2 * z

由此可得a + (x + y) * z / y = a + 3 / 2 * z

 => y = 2x

也就是说在不改变长方形的长宽的前提下,L形的长边必是短边的2倍长

这样在移动后就不会出现缺口,否则其他地方必然变形

其实，我作的这两个图是按照L形各边定长，梯形的高定长来作的，

读者如果将此图下载，剪切比对后会发现，图中的两个梯形上底并不等长

如果严格按给定的条件作图，两个L形必然紧贴，不会产生缺口！

而L形的规格由三角形的角度、和长方形的宽决定

其上底 = 长方形宽的 1 / 5

下底 = 长方形宽的2 / 5

高 = tan ∠1 * 下底

再回归视频，相信视频中的材料是一整块切下来的，并且介质较软，三角形的斜边是一刀切过去的，

这样的话，三角形的斜边，和两个直角梯形的斜边，斜率是相同的， 可以看出L形的 上底长<下底长的一半(x < 1 / 2 y)

在保证两直角梯形直边与L形组合的长边等长的前提下，

如果两梯形上底等长，则必然造成右边图案中L形组合向下凸出

 

蓝色梯形下底长 = a + z （左图）

相应的绿色梯形下底长 = a + (x + y) * tan ∠1 = a + (x + y) * z / y （左图）

右图中线左侧为绿色梯形 长度 a + (x + y) * z / y

右侧为蓝色梯形与两个L形的组合 长度 a +  3 / 2 * z

由于 L形的 上底长<下底长的一半(x < 1 / 2 y) 很显然可以得出 右边比左边长 即右边向下凸出

凸出长度 =  (a +  3 / 2 * z) - (a + (x + y) * z / y) 

凸出面积 = y * 凸出长度 = (y - 2x) * z / 2

正方形面积 = (y - 2x) * z / 2等于凸出面积

 

如果保证右边图案绿色梯形与L形组合齐平，绿色梯形上底必然比蓝色的长，因此整个长方形会变长

 

此时蓝色梯形上底长 = a

根据右图齐平的规则，绿色梯形下底长 = a + 3 / 2 z

则长方形的长 = a + 3 / 2 z + z (左图)

蓝色梯形 和 长方形去除三角形后的大梯形 相似

则蓝色梯形下底长 = 长方形的长 / 宽 * 蓝色梯形的高

　　　　　　　　= (a + 3 / 2 z + z) / (x + 2y) * y

因此，右侧长方形的长 =  (a + 3 / 2 z + z) / (x + 2y) * y + 3 / 2 z（右图）

由于 L形的 上底长<下底长的一半(x < 1 / 2 y)   右侧长方形长 > 左侧长方形的长

也就是说，新的长方形会整体变长

 

这两种情况多出来的部分就是缺口正方形的面积 

当然还有其他情况，如果保证长方形长宽不变，则必然原图就有缺口，在哪里呢？看图

 

也就是说，原图的三角形并不是真正的三角形，如果是直线切割，必然会造成上述两种情况之一

它的斜边是凹边，重新组合图形后正好使两梯形与该“三角形”贴合，原来空出的平行四边形的面积

就正好等于新空出的正方形的面积

现在你明白了么？