第九讲-数列收敛的判定方法

本讲介绍了在不知的、复杂的、数列是否有极限（收敛）时，如何判断该数列收敛（有极限）的三种方法（夹逼定理（左右）、单调有界原理（单上、单下）、区间套）

夹逼定理

 

在直接考虑数列 极限的存在性或计算该数列的极限遇到困难时，可以采用放缩的方法，构造两个极限比较容易计算的数列，通过考虑它们的极限来得到所需的结果. 这就是夹逼定理，或称为三明治定理.

 

 

 

 

 

定理证明

 

证明:

 

 

 

 

定理应用

 

例 1. 证明:

 

 

 

 

 

 

 

例 2. 求极限:

 

 

 为什么不能用四则运算拆分？因为四则运算是有限项

 

 

 

 

 

 牛皮

 

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单调有界原理

 

任何单调有界数列一定存在极限.

 

 

 

 

连续性公理

 

概念: 若一个实数集合存在上界，则它一定存在上确界. 集合 A 的上确界表示为 $$\mathrm{supA}$$.

 

最小上确界

 

概念: 所谓一个函数集合 A 的上确界  a，是说  a  为该集合的最小上界. 这里包含两层意思，

 

 

1. a 为 A 的上界，即对于任何 x∈A，有 x≤ a.

2. 任何小于 a 的数都不可能构成 A 的上界，即对于任何正数 ε，一定存在 x′∈A，使 x′>a−ε (因为 a−ε 是小于 a 的数)

 

定理证明

 

 

 

 

 

定理应用

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

区间套定理