第九讲-数列收敛的判定方法
本讲介绍了在不知的、复杂的、数列是否有极限(收敛)时,如何判断该数列收敛(有极限)的三种方法(夹逼定理(左右)、单调有界原理(单上、单下)、区间套)
夹逼定理
在直接考虑数列 极限的存在性或计算该数列的极限遇到困难时,可以采用放缩的方法,构造两个极限比较容易计算的数列,通过考虑它们的极限来得到所需的结果. 这就是夹逼定理,或称为三明治定理.
定理证明
证明:
![](https://img2022.cnblogs.com/blog/1570448/202205/1570448-20220507163719910-1838878840.png)
定理应用
例 1. 证明: ![](https://img2022.cnblogs.com/blog/1570448/202205/1570448-20220507163758595-1357581091.png)
例 2. 求极限: ![](https://img2022.cnblogs.com/blog/1570448/202205/1570448-20220507163906338-533973481.png)
为什么不能用四则运算拆分?因为四则运算是有限项
牛皮
单调有界原理
任何单调有界数列一定存在极限.
连续性公理
概念: 若一个实数集合存在上界,则它一定存在上确界. 集合 A 的上确界表示为 supA.
最小上确界
概念: 所谓一个函数集合 A 的上确界 a,是说 a 为该集合的最小上界. 这里包含两层意思,
- a 为 A 的上界,即对于任何 x∈A,有 x≤ a.
- 任何小于 a 的数都不可能构成 A 的上界,即对于任何正数 ε,一定存在 x′∈A,使 x′>a−ε (因为 a−ε 是小于 a 的数)
定理证明
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定理应用
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区间套定理