2.【学习笔记】初等数论-组合计数
加法原理、乘法原理
加法原理
- 应该是最简单一个了（没有之一）。
- 若完成一件事情有 \(n\) 类办法，\(\Large{a_i(1\leq i\leq n)}\) 代表第 \(i\) 类方法个数，那么完成这件事的方法就有 \(\Large{S=a_1+a_2+\cdots+a_n}\) ，等于 \(\Large{S=\sum{^n_{i=1}}a_i}\) 种。
乘法原理
- 若完成一件事情有 \(n\) 个步骤，\(\Large{a_i(1\leq i\leq n)}\) 代表第 \(i\) 步方法个数，那么完成这件事的方法就有 \(\Large{S=a_1\times a_2\times\cdots\times a_n}\) ，等于 \(\Large{S=\prod{^n_{i=1}a_i}}\) 种。
排列数、组合数
排列数
- 在 \(n\) 个元素中取出 \(m\) \((m\leq n)\) 个元素的所有排列的个数，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的排列数，用符号 \(\Large{A{^m_n}}\) 表示。
- 排列数有序，如 \(1,2\) 和 \(2,1\) 属于两个排列。
- 计算公式 \(\Large{A{^m_n}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m-1)=\frac{n!}{(n-m)!}}\) 。
- 全排列属于一种特殊的排列数， \(\Large{A{^m_n}=n(n-1)(n-2)\cdots3\times2\times1=n!}\)
组合数
- 在 \(n\) 个元素中取出 \(m\) \((m\leq n)\) 个元素组成一个集合，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的一个组合，从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的所有组合的个数，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的组合数。用符号 \(\Large{C{^m_n}}\) 或 \(\dbinom{n}{m}\) 表示。
- 组合数，集合无序，如 \(1,2\) 和 \(2,1\) 属于一个集合。
- 计算公式 \(\dbinom{n}{m}=\dfrac{A{^m_n}}{m!}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}\)
二项式定理
- 其实跟杨辉三角是很相似的。\(\large (a+b)^n= \sum \limits_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}a^{i}b^{n-i}\)
- 证明： 假设当 \(n=m\) 时成立，则 \(n=m+1\) 时， 显然就有\[\large(a+b)^{m+1}=(a+b)(a+b)^m \]因为假设 \(n=m\) 时成立，所以能得出\[\large (a+b)(a+b)^m=(a+b)\sum \limits_{i=0}^{m}\dbinom{m}{i}a^{i}b^{m-i} \]将其与 \(a+b\) 相乘，得\[\large (a+b)\sum \limits_{i=0}^{m}\dbinom{m}{i}a^{i}b^{m-i}=\sum \limits_{i=0}^{m}\dbinom{m}{i}a^{i+1}b^{m-i}+\sum \limits_{i=0}^{m}\dbinom{m}{i}a^{i}b^{m-i+1} \]再将其转化到 \(\sum\) 上，得\[\large \sum \limits_{i=0}^{m}\dbinom{m}{i}a^{i+1}b^{m-i}+\sum \limits_{i=0}^{m}\dbinom{m}{i}a^{i}b^{m-i+1}=\sum \limits_{i=1}^{m+1}\dbinom{m}{i-1}a^{i}b^{m-i+1}+\sum \limits_{i=0}^{m}\dbinom{m}{i}a^{i}b^{m-i+1} \]之后因为 \(\large\dbinom{m}{i-1}+\dbinom{m}{i}=\dbinom{m+1}{i}\) ，所以\[\large \sum \limits_{i=1}^{m+1}\dbinom{m}{i-1}a^{i}b^{m-i+1}+\sum \limits_{i=0}^{m}\dbinom{m}{i}a^{i}b^{m-i+1}=\sum \limits_{i=0}^{m+1} \dbinom{m}{i-1}\dbinom{m}{i}a^{i}b^{m-i+1} \]最后结果是\[\large \sum \limits_{i=0}^{m+1} \dbinom{m+1}{i}a^{i}b^{m-i+1}=\sum \limits_{i=0}^{n} \dbinom{n}{i}a^{i}b^{n-i} \]所以二项式定理正确。
