dp-矩阵链相乘顺序
矩阵链相乘顺序
问题描述
A1,A2,..,An 表示n个矩阵的序列，其中Ai为\(P_{i−1}×P_i\)阶矩阵，i=1,2,...,n。
向量P=<P0,P1,P2..Pi>表示矩阵链的输入，其中P0是A1的行数，P1是A1的列数，P1是A2的行数，以此类推。
计算这个矩阵需要做n−1次两个矩阵的相乘运算，可以用n−1对括号表示运算次序。
因为矩阵乘法满足结合律，所以无论采用那种顺序，最后结果都一样，但是采用不同的顺序计算的工作量不同。如何定义两个矩阵相乘的工作量呢？
所以假设A1有i行k列，A2有k行j列。所以A1A2相乘后的矩阵有i行j列，含ij个元素。
以元素相乘作为基本运算，乘积中每个元素的计算都需要做j次乘法，于是计算A1A2总共需要ijk次乘法。
举例说明
假设输入的是P=<10,100,5,50>,说明有3个矩阵相乘。其中，
A1:10×100
A2:100×50
A3:5×50
有两种乘法次序：
(A1A2)A3
A1(A2A3)
执行第一种运算的基本运算次序：10×100×5+10×5×50=7500
执行第二种运算的基本运算次序：10×100×50+100×5×50=75000
工作量相差达10倍！
所以我们的问题是：给定向量P，确定一种乘法次序，使得基本运算的总次数最少。
问题分析
1、寻找最优子结构：
假设我们已经找到父矩阵链最优解，当我们划分到最后一步时都是两个子矩阵链（分别被括号包围）相乘，如（A1A2A3A4）（A5A6A7），此时显然外括号为父矩阵的最优括号划分。继续往下划分，（（A1A2A3）A4）（A5（A6A7）），则两个子矩阵链的划分括号必须也为他们本身的最优括号划分。因为如果子矩阵链的划分括号不是他们本身的最优括号划分时，两个子矩阵链就有另一种最优括号划分，如（A1（A2A3A4））（A5（A6A7））。那么就与我们的假设相悖。（（A1A2A3）A4）（A5（A6A7））不是我们父矩阵最优解。所以拥有最优划分的父矩阵的子矩阵链显然也拥有最优划分。
2、子问题重叠：
在分解子结构的过程中，会多次访问同一个子问题，比如 (A1(A2A3A4))(A5(A6A7)) 和 (A1(A2A3A4)A5)(A6A7)。
这正是动态规划解决的问题。
程序
#include <iostream>
#include <vector>
#include <new>
#include <climits>
using namespace std;
int solve(const vector<pair<int, int>>& mat_chain);
void print_mat(int** mat, int len1, int len2);
int main (int argc, char** argv) {
vector<pair<int, int>> mat_chain{
{10,100},
{100,5},
{5,50},
{50,9},
};
int ret = solve(mat_chain);
cout << "ret: " << ret << endl;
return 0;
}
int solve(const vector<pair<int, int>>& mat_chain) {
int len = mat_chain.size();
int i, j, k, diff, sum;
int** order = new int*[len];
// mount 右上存放计算量：[i,j]矩阵链的最小计算量为mount[i,j]
// mount 左下存放计算顺序：mount[i][j]=k 表示[i,j]矩阵链分割为[i,k]和[k+1,j]两部分
// 先分别计算这两部分，再对其相乘
int** mount = new int*[len];
for (i = 0; i < len; ++i) {
mount[i] = new int[len];
for (j = 0; j < len; ++j) {
mount[i][j] = INT_MAX;
}
// 对角线表示自己和自己相乘，计算量为0
mount[i][i] = 0;
}
for (diff = 1; diff < len; ++diff) {
for (i = 0; i < len - diff; ++i) {
j = i + diff;
for (k = i; k < j; ++k) {
// 计算量=分割的两部分各自的计算量加上两部分相乘的计算量
sum = mount[i][k] + mount[k+1][j]
+ mat_chain[i].first * mat_chain[k].second * mat_chain[j].second;
if (sum < mount[i][j]) {
mount[i][j] = sum;
mount[j][i] = k;
}
}
}
}
cout << "mount:\n";
print_mat(mount, len, len);
sum = mount[0][len-1];
for (i = 0; i < len; ++i) {
delete[] mount[i];
}
delete[] mount;
return sum;
}
void print_mat(int** mat, int len1, int len2) {
for (int i = 0; i < len1; ++i) {
for (int j = 0; j < len2; ++j) {
cout << mat[i][j] << "\t";
}
cout << endl;
}
}
测试：
mount:
0 5000 7500 7700
0 0 25000 6750
1 1 0 2250
1 1 2 0
ret: 7700
