ALGO-17_蓝桥杯_算法训练_乘积最大(DP)

问题描述 

　　今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

　　设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。

　　同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

　　有一个数字串：312， 当N=3，K=1时会有以下两种分法：

　　3*12=36
　　31*2=62

　　这时，符合题目要求的结果是：31*2=62

　　现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

输入格式 

　　程序的输入共有两行：
　　第一行共有2个自然数N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）
　　第二行是一个长度为N的数字串。


输出格式 

　　输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

　　样例输入

　　4 2
　　1231
样例输出
62

 

记:

由于DP题目的解法仍不熟悉,故上网搜寻解题思路

(代码参考:https://blog.csdn.net/fine_rose/article/details/63685548)

 参考代码:

#include <stdio.h> 
#define MIN(X,Y) (X)<(Y)?(X):(Y)

int n,k;
long long num[45] = {0};
long long dp[45][6] = {0};/*可使用的数字,*号的个数*/

long long cut(int l,int r)
{
    int i;
    long long end = 0;
    for (i = l ; i <= r ;i ++)
    {
        end = end*10 + num[i];        
    }
    return end;
}

void init()
{
    int i;
    char tmp[45] = {0};
    scanf("%d %d",&n,&k);
    scanf("%s",&tmp);
    for (i = 1 ; i <= n ; i ++)
    {
        num[i] = tmp[i-1]-'0';
    }
    for (i = 1 ; i <= n ; i ++)
    {
        dp[i][0] = cut(1,i);
    }
    return ;
}

void find()
{
    int i,j;
    int a,b;
        
    for (i = 2 ; i <= n ; i ++)/*枚举能使用数字(1-i),(至少需要2数字才可添加*号)*/
    {
        j = MIN(i-1,k);/*枚举在能使用数字中最多能放的*个数*/
        for (a = 1 ; a <= j ; a ++)/*枚举j个乘号情况下的数字分布*/
        {
            for (b = a ; b < i ; b ++)/*枚举在能使用数字内的不同组合*/
            {
                if (dp[b][a-1]*cut(b+1,i) > dp[i][a])
                {
                    dp[i][a] = dp[b][a-1]*cut(b+1,i);/*存放最大值*/
                }
            }
        }
    }    
    
    return ;
}

int main(void)
{
    init();
    find();
    printf("%lld",dp[n][k]);
    return 0;
}

 

 

在过完思路后,可以发现由于会遍历不同长度下的可能结果,而我们仅仅是要长度为n时的最大乘积,显然程序做了大量的无用功

而到这里，思路也有所启发

从题目中，我们可以得到的隐藏条件是n>1,且n>k

而题目的样例输入

4 2

1231

指两个乘号,放在4个数据中间(左右两端不能放),那么

第一个乘号的可能出现位置为:1*2*3*1 

第二个乘号的可能出现位置为:12*3*1 (至少已放了一个乘号)

 显然，后面的乘号出现位置与前面的乘号的位置有关系，可以通过标记摆放乘号，并用递归遍历不同的乘号(dfs)

这样，我们就可以得到一种情况下的数字分割

通过查乘号的出现位置，完成数字之间的相乘，并比较最大值，将最大值保存

 

改进代码:

#include <stdio.h> 
#define MAX 46

int n,k;
long long num[MAX] = {0};/*每一位的数据存储*/
int vis[MAX] = {0};    /*每一位乘号的使用标记*/
long long max = 0;        /*最大值存储*/

void init()
{
    int i;
    char tmp[MAX] = {0};
    scanf("%d %d",&n,&k);
    scanf("%s",&tmp);
    for (i = 1 ; i <= n ; i ++)
    {
        num[i] = tmp[i-1]-'0';
    }
    return ;
}

long long cut(int l,int r)
{
    int i;
    long long end = 0;
    for (i = l ; i <= r ;i ++)
    {
        end = end*10 + num[i];        
    }
    return end;
}

void dfs(int x) 
{
    /*隐藏条件:N>1,N>K*/
    int i;
    int a,b;/*乘号分割下的数字左右下标*/
    long long tmp;
                
    if (x > k)/*乘号使用完毕*/
    {
        a = 0,b = 1;
        tmp = 1;
        /*计算该次搜索中的数字分割后的乘积*/
        for (i = 1 ; i < n ; i ++)
        {
            if (vis[i])
            {
                b = i;
                tmp *= cut(a+1,b);                
                a = b;
            }            
        }
        tmp *= cut(a+1,n);
        if (tmp > max)
        {
            max = tmp;
        }
        return ;
    }
     
    for (i = x ; i < n ; i ++)/*遍历不同位置的乘号*/
    {
        if (!vis[i])/*当前位置的乘号未使用*/
        {
            vis[i] = 1;
            dfs(x+1);
            vis[i] = 0;
        }
    }
        
    return ;
}

int main(void)
{
    init();
    dfs(1);
    printf("%lld",max);
    return 0;
}