蓄水池算法

常用于：流数据的等概率采样（给定一个数据流，数据流长度N很大，且N直到处理完所有数据之前都不可知，请问如何在只遍历一遍数据（O(N)）的情况下，能够随机选取出m个不重复的数据。转自：这里）

m=1的情况下通俗理解：

(1)如果我们池子中只有一个数字，那么拿到第一个数字的概率就是100%毋庸置疑。
(2)两个数字50% 三个数字每个数字的几率都是33% 以此类推。。。。
当我们不知道池子里有多少个数字的时候，就需要用蓄水池的算法思想去计算。
(3)当链表前行到第一个数字，此时取第一个数字的几率为100%，那result自然等于这个数字。
(4)前进到第二个数字，那么此时取这个数字的几率自然就为50%（池子里只有两个数字），那么就是50%的几率取新数字，50%的几率保留原本的数字。
(5)第三个数字的时候，33%的几率取当前最新的这个数字，66%的几率保留原本的数字。这66%中：原本的数字有50%的几率是1，有50%的几率是2。也就是此时三个数字的概率都为33%。通过这个算法，就能达到取数的概率均摊，从而实现随机。

附代码(@ADK)：

class Solution {
    ListNode head;
    Random random;
    public Solution(ListNode head) {
        this.head=head;
        this.random=new Random();
    }
    
    public int getRandom() {
        // 蓄水池算法
        // 第一次拿第一个数 第一个数的概率是100%
        // 第二次 拿第二个数 取第二个数的概率是50%
        // 第三次 拿第三个数是 33% 则保留原本数的概率是66%
        ListNode p=this.head;
        int count=0;
        int res=0;
        while(p!=null){
            count++;
            int randomint=random.nextInt(count)+1;//因为生成的是[0，count)的值 而不包含count  所以要加1
            if(randomint==count){
                res=p.val;
            }
            p=p.next;
        }
        return res;
    }
}

m>1时：

先上代码：

int[] reservoir = new int[m];

// init
for (int i = 0; i < reservoir.length; i++)
{
    reservoir[i] = dataStream[i];
}

for (int i = m; i < dataStream.length; i++)
{
    // 随机获得一个[0, i]内的随机整数
    int d = rand.nextInt(i + 1);
    // 如果随机整数落在[0, m-1]范围内，则替换蓄水池中的元素
    if (d < m)
    {
        reservoir[d] = dataStream[i];
    }
}

分析（作者@邱simple）：
算法思路大致如下：
（1）如果接收的数据量小于m，则依次放入蓄水池。
（2）当接收到第i个数据时，i >= m，在[0, i]范围内取以随机数d，若d的落在[0, m-1]范围内，则用接收到的第i个数据替换蓄水池中的第d个数据。
（3）重复步骤2。
算法的精妙之处在于：当处理完所有的数据时，蓄水池中的每个数据都是以m/N的概率获得的。
通俗理解：
第i个接收到的数据最后能够留在蓄水池中的概率=第i个数据进入过蓄水池的概率*之后第i个数据不被替换的概率（第i+1到第N次处理数据都不会被替换）。

1.当i<=m时，数据直接放进蓄水池，所以第i个数据进入过蓄水池的概率=1。
2.当i>m时，在[1,i]内选取随机数d，如果d<=m，则使用第i个数据替换蓄水池中第d个数据，因此第i个数据进入过蓄水池的概率=m/i。
3.当i<=m时，程序从接收到第m+1个数据时开始执行替换操作，第m+1次处理会替换池中数据的为m/(m+1)，会替换掉第i个数据的概率为1/m，则第m+1次处理替换掉第i个数据的概率为(m/(m+1))(1/m)=1/(m+1)，不被替换的概率为1-1/(m+1)=m/(m+1)。依次，第m+2次处理不替换掉第i个数据概率为(m+1)/(m+2)...第N次处理不替换掉第i个数据的概率为(N-1)/N。所以，之后第i个数据不被替换的概率=m/(m+1)(m+1)/(m+2)...(N-1)/N=m/N。
4.当i>m时，程序从接收到第i+1个数据时开始有可能替换第i个数据。则参考上述第3点，之后第i个数据不被替换的概率=i/N。
5.结合第1点和第3点可知，当i<=m时，第i个接收到的数据最后留在蓄水池中的概率=1m/N=m/N。结合第2点和第4点可知，当i>m时，第i个接收到的数据留在蓄水池中的概率=m/ii/N=m/N。综上可知，每个数据最后被选中留在蓄水池中的概率为m/N。
这个算法建立在统计学基础上，很巧妙地获得了“m/N”这个概率。

两道相关的力扣题：382. 链表随机节点、398. 随机数索引