微积分基础概念
求导
基本求导公式
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$ \left( C \right) ' = 0 $ $ \left( x^a \right) ' = a * x^{a - 1} $ $ \left ( \sqrt{x} \right )' = \frac{1}{2 * \sqrt{x}} $ $ \left ( \frac{1}{x} \right )' = - \frac{1}{x^2} $ $ \left ( a^{x} \right )' = a^{x} * \ln a $ $ \left ( e^{x} \right )' = e^{x} $ $ \left ( \log _{a}x \right )' = \frac{1}{x * \ln a} $ $ \left ( \ln x \right )' = \frac{1}{x} $ |
$ \left(\sin x\right)' = \cos x $ $ \left(\cos x\right)' = -\sin x $ $ \left(\tan x\right)' = \sec^2 x $ $ \left(\cot x\right)' = - \csc^2 x $ $ \left(\sec x\right)' = \left(\frac{1}{\cos x}\right)' = \sec x * \tan x $ $ \left(\csc x\right)' = \left(\frac{1}{\sin x}\right)' = -\csc x * \cot x $ |
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$ \left(\upsilon \pm \nu \right)' = \upsilon' \pm \nu' $ $ \left(C \upsilon \right)' = C \upsilon' $ $ \left(\upsilon \nu \right)' = \upsilon'\nu + \upsilon \nu' $ $ \left(\frac{\upsilon}{\nu}\right)' = \frac{\upsilon' \nu - \upsilon \nu'}{\nu^2} $ |
$ \left(\arcsin x\right)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ $ \left(\arccos x\right)' = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ $ \left(\arctan x\right)' = \frac{1}{1+x^2} $ $ \left(\mathrm{arccot} \; x\right)' = - \frac{1}{1 + x^2} $ |
复合函数求导
链式法则(chain rule)是微积分中的求导法则, 用以求一个复合函数的导数, 其内容为: 由两个函数嵌套而成的复合函数, 其导数等于外函数之导数，乘以里边函数的导数
所谓复合函数是指以一个函数作为另一个函数的变量, 如: 设$ F(x) = 3x $, $ G(y) = 3y + 3 $, $ G(F(x)) $ 就是一个复合函数, $ G(F(x)) $对$ x $求导, $ G′(F(x)) = 9 $
若 $ H\left(x\right) = F\left(G\left(x\right) \right) $ , 则$ H(x) $对x求导: $ H'\left(x\right) = F'\left(G\left(x\right) \right) * G'\left(x\right) $
例
计算$ e^{-x} $的导数, 可以令$ f(x) = -x $, 则 $ (e^{-x})' = (e^{f(x)})* f'(x) = e^{-x} * (-1) = - e^{-x} $
计算$ F(x) = \frac{1}{1+e^{-x}} $ 的导数.
$ F'(x) = \frac{1'*(1+e^{-x}) - 1*(1+e^{-x})'}{(1+e^{-x})^2} = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} = \frac{1}{1+e^{-x}} * \left( 1 - \frac{1}{1+e^{-x}} \right) = F(x) * \left( 1 - F(x) \right)$
对 arctan x 求导
$ y = \arctan x \\
\therefore x= \tan y, \\
\therefore \left(\arctan x \right)' = \frac{1}{\left( \tan y\right)'}\\
\\
\left(\tan
y\right)' = \left(\frac{\sin y}{\cos y}\right)'= \frac{\cos y \cos y -
\sin y(- \sin y)}{\cos^2 y} = \frac{1}{\cos^2 y}\\
\therefore \left(\arctan x \right)' = \cos^2 y = \frac{\cos^2 y}{\cos^2y + \sin^2y} = \frac{1}{1+\tan^2 y}=\frac{1}{1+x^2} $
泰勒级数
泰勒级数(Taylor series) 用无限项连加式级数来表示一个函数, 这些相加的项由函数在某一点的导数求得. 通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数Maclaurin series. 定义：
如果$ f(x) $在点$ x=x_{0} $具有任意阶导数, 则幂级数
$ \sum_{n=0}^{\infty } \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n $
称为$ f(x) $在点$ x_{0} $处的泰勒级数.
在泰勒公式中, 取$ x_0=0 $ 得到的级数
$ \sum_{n=0}^{\infty } \frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x)^n $
称为麦克劳林级数. 函数$ f(x) $的麦克劳林级数是x的幂级数, 那么这种展开是唯一的, 且必然与$ f(x) $的麦克劳林级数一致
复合函数的泰勒展开
对于复合函数, 可以使用换元法简化展开计算,
$ f(g(x)) = \sum_{ n=0 }^{ \infty } \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(g(x)-x_0)^n $
可以进行代换的条件是在展开点$ x_0 $当$ x \to x_0 $时, 替换变量$ g(x) \to x_0 $. 只有x和替换变量在展开点是同一个极限才可以这么做. 要是在其它处展开, 就得老老实实算或者令$ g_2(x) $在展开点保证同一个极限, 然后再用换元法展开.
常用展开公式
$ f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)(x-a)2}{2!}+...+\frac{f^{(n-1)}(a)(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}+R_{n} $
$ \begin{equation}
\begin{aligned}
\left(a+x\right)^n &= a^n + na^{n-1}x + \frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}a^{n-3}x^3 + ... \\
&= a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}x + \binom{n}{2}a^{n-2}x^2+\binom{n}{3}a^{n-3}x^3 + ... \\
&= \sum_{i=0}^{\infty} \binom{n}{i} a^{n-i}x^i
\end{aligned}
\end{equation} $
$ \begin{equation}
\begin{aligned}
\left( 1 + x \right )^{-1} &= 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - ... \\
&= \sum_{i=0}^{\infty }(-1)^ix^i
\end{aligned}
\end{equation} $
$ e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+... $
$ a^x = e^{x \ln a}= 1+x\ln a+\frac{(x\ln a)^2}{2!}+\frac{(x\ln a)^3}{3!}+\frac{(x\ln a)^4}{4!}+... $
$ \ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ... -1 < x \leqslant 1 $
根据$ \arctan x $的泰勒展开计算$ \pi $值
因为 $ \left(\arctan x \right)' =\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+... $
对两边积分可得 $ \arctan x = x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+... $
因为 $ \arctan 1 = \frac{\pi}{4} $ 所以$ \pi = 4*\left( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ... \right) $
注: 这个计算收敛很慢
自然常数e
自然常数e的定义如下
$ e = (1 + x)^{\frac{1}{x}}, x \to 0 $ 或 $ e = (1 + \frac{1}{x})^{x}, x \to \infty $
导数的证明
对上式变形可得 $ \frac{e^{x} - 1}{x} = 1 $, 于是
根据导数的定义，我们给自变量x一个微小增量dx，可以得到
$ y'= \frac{e^{(x+dx)}-e^{x}}{dx} = \frac{e^x * e^{dx} - e^x}{dx} = e^x * \frac{e^{dx} - 1}{dx} = e^x * 1 = e^x = y $
