两条像面试用的编程问题，和我的囧事

昨天meta网友在某论坛写了两条编程题目:

1. 设计一个函数f, 使得它满足：f(f(x))=-x，这里输入参数为32位整型
2. 设计一个函数g, 满足：g(g(x))=1/x, x是浮点数

以下是一些反面的解答，可澄清这两条个题目:

• meta提供了同事的解答，但该解答用了static local variable来區分办调用次数。这函数有副作用，且不是thread-safe。因此这不是好答案。
• Sweating和Kng Zhu网友利用语言特性，第一次调用函数时，输出第二种型别，使第二次执行该函数时，用型别来检测这是第二次调用。这个方法其实等同写两个签名不一样的函数，和题目有出入，并不是正确答案。
• Wang Feng网友利用复数去解题。不过如果输入输出能增加一个变量，不如直接用该变量来储存调用次数，就不需用复数了。

我的囧事

第一个回覆这帖子的是网友Atry，他解答了问题(1)，但没有写当中的逻辑(其实和本文的解法思路一样)。

另外，有网友认为两条问题是无解的，我也是当中一员。因此，今天午饭时间就发了以下的错误证明：

1. 假设一个函数 f 存在，x 为32-bit整数，f(x)) = -x
2. 设 y = f(x)
3. f(f(x)) = -x ⇔ f(y) = –x
4. 变换变量, f(y) = -x ⇔ f(x) = -y ⇔ y = -f(x)
5. y = f(x) = -f(x)

第5步只是当y=0才成立，和f的值域矛盾，按反证法，函数f不存在。

Lu JunZhu和Hongzhang Liu网友指出第4行有错误。Hongzhang Liu更套用同样思路，可以错误地证明，f(f(x))=4x中的f是不存在的。那就肯定是我的错了，囧rz。我当时没想到错在那，就去请教郑晖老师。

郑老师指出，只有自由变量(Free Variable)才可以置换(Subsititue)。上述证明中，x和y不是自由变量。 之后，郑老师独立做了一个解答，我编程序来测试(虽然郑老师认为应该用证明方式)。以下我尝试把郑老师的解答，加上我的理解去演译一个正确答案。

问题分析

这两问题的难点在于，函数不能储存额外状态。

我们首先分析问题(1)，设y=f(x)，则

1. f(x) = y

2. f(y) = -x

如果再把结果-x再应用一次f 函数，f(-x) = ?

因为之前 f(y)=-x，而按题目定义，f(f(y))=-y ，所以f(-x) = -y。我们可以列出:

3. f(-x) = -y

4. f(-y) = x

我们可以发现，4次函数映射之后，会变成一个循环。也就是说，

x → y → –x → –y → x→…

我们只要把数字分为四类，就可以实现这个循环。x和-x的分别是正负号，我们可以再利用数字的奇偶性，这两个正交属性可以产生4个组合。这个循环就可变成

正奇→ 正偶→ 负奇→ 负偶→ 正奇→ …

可以看到，这个排列的正负号是每两次更改。接下来，就要想一个函数，满足这个变化。郑老师说他经过几次推敲，得到:

f(x)=(-1)^x\cdot x + \mathrm{sgn}(x)

实现

在编程时，由于用(int)pow(-1,x)会做成浮点问题，所以我就改为:

template<typename t>
inline T even(T x) {
	return x % 2 == 0 ? -1 : 1;
}

template<typename t>
inline T sgn(T x) {
	if (x > 0)
		return 1;
	else if (x < 0)
		return -1;
	else
		return 0;
}

template<typename t>
struct f1 {
	T operator()(T x) {
		return even(x) * x + sgn(x);
	}
};

这个函数非常简单，可体现数学之美。郑老师也写了另一个比较少代码的实现:

template<typename T>
struct f2 {
	T operator()(T x) {
		if (x == 0)
			return 0;
		else if (x > 0)
			return x & 1 ? x + 1 : 1 - x;
		else
			return x & 1 ? x - 1 : -x - 1;
	}
};

测试

#include <limits>
#include <iostream>

using namespace std;

template<typename T, typename F>
void test(F f) {
	cout << "[" << (int)numeric_limits<T>::min() << "," << (int)numeric_limits<T>::max() << "]" << endl;
	T x = numeric_limits<T>::min();
	do {
		T y = f(f(x));
		if (y != (T)-x)
			cout << (int)x << " " << (int)y << endl;
		x++;
	} while (x != numeric_limits<T>::min());

	cout << endl;
}

void main() {
	test<signed char>(f1<signed char>());
	test<signed short>(f1<signed short>());
	test<int>(f1<int>());

	test<signed char>(f2<signed char>());
	test<signed short>(f2<signed short>());
	test<int>(f2<int>());
}

f1和f2的执行结果相同:

[-128,127]
127 127

[-32768,32767]
32767 32767

[-2147483648,2147483647]
2147483647 2147483647

这结果说明，除了x为整数的上限时，结果正确。但因为没有额外的状态，相信这个边界问题应该不能解决。

第二题

第二题比较简单，只需要利用-(-x) = x的特点，无论x为正或负，经过这两次映射，总会有一次为正数，一次为负数。所以可以写一个函数，在x为正数时(或负数时)计算其倒数:

float g(float x) {
	return x > 0 ? -1.0f / x : -x;
}

这个函数在x=0时无定义。

后记

我的数学不好，今天囧了。但是回想起来，如果我当初没有尝试去解决这个问题，就不会学到这些思考方式。这个小代价还是很值得的。

以上用了程序去测试正确性，应该也可以用数学归纳法去证明，读者可以试试看。

最后感谢郑老师的教导。