LCT
LCT学习笔记
摘要：肝了大半天的内容，属于任性。
splay
maintain
就是维护size罢了。
get
返回是父亲的左儿子还是右儿子。
clear
多测清空你都会，不信这个你不会。
rotate
是和Treap的操作一模一样的吧，，不过是站在儿子的角度旋转的吧。
为了避免出错：记住以下需要更新的内容（y为x的父亲，z为y的父亲）：
- y的同侧儿子
- x的异侧儿子的父亲
- x的异侧儿子
- y的父亲
- z的儿子
- x的父亲
以上两两是一对。
记住特判x的异侧儿子和z不存在的情况。
splay
体谅一下作者祭天的绘图水平
到处splay(x)邪教是绝对正确的！！！
简单来说：如果父亲和爷爷（先姑且这么叫）在一条直线上，那么先换父。否则先换子。
下方是OI-wiki上现有的代码。
void splay(int x) {
for (int f = fa[x]; f = fa[x], f; rotate(x))
if (fa[f]) rotate(get(x) == get(f) ? f : x);
rt = x;
}
代码压行到了丧心病狂的程度：一次循环里，先把 \(f\) 赋值为 \(fa_x\) 检验其是否存在。如不存在，退出循环。再判断是否存在爷爷，如果不存在只单旋，否则按上方规则双旋。
势能分析
建议别看，全是贺的。
这里是题外话：为了证这个复杂度，我先是在OI-wiki上看，但Oiwiki不靠谱的天然特性使得我成功的没有看懂。然后 \(\textcolor{black}{\_}\textcolor{red}{lazytag\_}\) 给我推荐了这篇博客，虽然写的很好，但是“同理可得”得不了让菜菜的我很心痛。最后我是在这里看懂了式子的推导，但是我对势能分析证复杂度理解不深，想不明白那个 \(\Theta(\log n)\) 的变化量和时间有什么关系，，，最后我自己yy了亿下终于找到了一种合理的解读！incredible！
感觉有希望成为全网最详细的解读了！
设 \(w_x = \log(size_x)\) ，初始势能 \(\varphi_0 = \sum w_i \leq n \log n\) 。末势能同理。
我们考虑求出一次Splay后 势能变化量和时间消耗的总和。（注意定义）
一次zig：
\(1\) 为时间消耗，其余部分为势能变化，下同。
一次zig-zig(g为爷爷)
注意：这里的“1”不能省略掉，因为不知道zig-zig的次数是多少。如果不能靠势能内的东西摊掉这个“1”，就会出现“ \(\Theta(n^2)\) 个常数” 的情况。
引理1：\(w_x+w'_g-2w'_x \leq -1\)
证明：
特别说明：第一个不等号请看图理解。
原式加上非负数：
一次zig-zag
引理2: \(w'_{fa}+w'_g-2w'_x\ \leq -1\)
证明（同样看图理解）:
然后如法炮制：原式加上非负数
所以：一次splay的势能变化量和时间消耗之和是：
每次在平衡树上的操作的时间消耗和splay的时间消耗是同级的，就可以算进splay的常数里去。
由此可以看到：当时间消耗很大的时候，势能变化量为负 。
假定操作数量 \(m\) 和 \(n\) 同级，那么总共splay的势能变化量和时间消耗之和是 \(\Theta(n \log n)\)，又因为势能变化在 \(\Theta (n \log n)\) 的范围内，所以总时间消耗是 \(\Theta(n \log n)\) 的！完结撒花！
code(文艺平衡树)
LCT
什么？这不是平衡树，这是LCT，遇到蒟蒻变大变高，劝退蒟蒻超好用的。先做做Sone1，再做做动态图连通性。什么？在哪里学？点击下方markdown笔记，学LCT送ETT，超实惠的。
what to solve?
链修链查询，换根换父亲。动态加删边，合并和分离。
更多用法等你发现（雾
peculiarity
- 虚实链剖分，每棵splay维护一条链，中序遍历splay得到的链的深度单调递增。
- “认父不认子”，每个点的splay只能访问其一个儿子，其他儿子所属的splay的根节点拉一条虚边指向这个儿子的父亲。
没错盗图就是快乐。
access
核心操作。LCT要维护的东西是很复杂的，（树的结构整体都在改变），所以LCT的思想是很暴力的，修改或查询一条链，就把它放在一个完整的数据结构里。当然这个数据结构是splay。
从树上拉出一条实链的过程其实不复杂：（摘自） \(\textcolor{black}{f}\textcolor{red}{lashhu}\) 的博客
inline void access(int x){
for(int y=0;x;y=x,x=f[x])
splay(x),c[x][1]=y,pushup(x);//儿子变了，需要及时上传信息
}
其中 \(f_x\) 是x在LCT上的虚边父亲。这里边比较玄妙的是 \(f_x\) 也可以表示实边的父亲，但两者的区别在于父亲认不认。所以从代码外观上看不出来是多棵splay。。。
makeroot
比较重要的操作，可以使任意节点成为根，这样任意树上路径都能被拉进一条链。（原本不满足深度递增是不行的。）
非常奇妙。先access(x)，这时x是splay中深度最大的点，一定没有右节点了，再翻转整个splay，就是这么离谱。x就成为了深度最小的点了。
findroot
用来判断连通性，使用方法是先access再splay，最后在splay上一直向左走，最后别忘了splay(x)（保证复杂度）。
split
拉出一条(x,y) 的链。。。先makeroot(x)，再access(y)，最后splay(y)就可以做到访问y来访问整条链。
link
先makeroot(x)，再 \(f_x = y\) ，必要时判一判findroot(y)和x是否相等，还要解释吗？
cut
如果保证断边合法，就先split(x,y)（这时根是y，且splay上只有两个点x和y，直接双向断边），记得maintain。
否则先makeroot(x)，再findroot(y)。如果是x，那么就判断是否直接联通。具体方法是看y的父亲是否是x，以及y是否有左儿子（如果有，那么x~y这条边就不是直接相连的。）
splay
这个函数要被魔改一下，因为splay(x)的时候x的祖先可能还有标记没有下放，所以需要人为找到它的所有祖先，再倒序pushdown。复杂度分析参考splay即可。
pushdown
单独拿出来是想说：写代码标准化是一个好习惯。。。
因为我一直写的打标记（无论是线段树还是平衡树）是代表“被修改过，但是子节点没被修改”。
包括平衡树的区间翻转。
似乎在LCT里不这样做就会有奇怪的问题？QwQ。。。
总结：整个算法就是access排列组合，而且暴力到了嚣张的程度，但是由于基于splay，复杂度就是正确的。stotarjanorz
还有什么用FHQ写LCT的人，复杂度是错的吧，为什么还没有人出来制裁AwA。
All the last
说在最后：谢谢你读完了它！
要相信每天都会变强一点点，那么终有一天会站上峰巅。
“实力”是一个玄妙的东西，它确实和你日复一日的练习相关，但是当我问：“你是受了什么启发才做出这道题的”？
你答不上来，你甚至根本没见过类似的题目，但是你就是会做。
相信自己，也要相信魔法啊，我们所过的每个平凡的日常，也许就是连续发生的奇迹。
写代码去了。【挥手】
upd:写完了！1A了！好开心！代码贴在下面。
