【欧拉计划2】Even Fibonacci numbers

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该题来自Project Euler的第二题，求数值小于4百万的偶数项的和。今天继续我的欧拉计划。

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问题描述

英语原文

Even Fibonacci numbers

Each new term in the Fibonacci sequence is generated by adding the previous two terms. By starting with 1 and 2, the first 10 terms will be:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

By considering the terms in the Fibonacci sequence whose values do not exceed four million, find the sum of the even-valued terms.

中文描述

在Fibonacci数列中，每一项由它的前两项之和生成。从1,2开始，前十项为：
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
考虑Fibonacci数列中数值不超过4百万的项，求出值为偶数的项的和。

解决方案

我的解法

这是中规中矩的方法，用了点循环队列的思想，虽然可以用几个变量替代。在写代码的过程中，还犯了一个傻傻的错误，感谢论坛朋友的帮助。

# include <stdio.h>
# define BOUND 4000000

int main(void)
{
	int fib[3];
	int i;
	long long int sum;
	
	fib[0] = 1;
	fib[1] = 2;
	sum = 2;
	for(i = 2; fib[(i - 1) % 3] < BOUND; i++) {
		fib[i % 3] = fib[(i - 1) % 3] + fib[(i - 2) % 3];  //队列的思想 
		if(fib[i % 3] % 2 == 0) {
			sum += fib[i % 3];
		}
	}
	printf("%d\n", fib[(i - 2) % 3]);
	printf("%d", sum);
}

下面是题目解析提供的几种解法。

直接求解

这个方法和我的方法原理是一样的。

# include <stdio.h>
int main(void)
{
	int limit;
	int a, b, h;
	int sum;
	
	limit = 4000000;
	a = b = 1;
	sum = 0;
	while(b < limit) {
		if(b % 2 == 0) {
			sum += b;
		}
		h = a + b;
		a = b;
		b = h;
	}
	printf("%d", sum);
}

另一种方法

仔细观察数列，可以发现，每三个Fibnacci数有一个偶数。利用这个规律，可以省去条件判断。

# include <stdio.h>
int main(void)
{
	int limit;
	int a, b, c;
	int sum;
	
	limit = 4e6;
	a = 1;
	b = 1;
	c = 2;
	sum = 0;
	while(c < limit) {
		sum += c;
		a = b + c;
		b = a + c;
		c = a + b;
	}
	printf("%d", sum);
}

高效方案

如果把偶数项拿出来：
2,8,34,144……

它们遵循的这样的规律：
E(n)=4*E(n-1)+E(n-2)

# include <stdio.h>
int main(void)
{
	int limit;
	int a, b;
	int sum;
	
	limit = 4e6;
	sum = 2;
	a = 2;
	b = 8;
	while(b < limit) {
		sum += b;
		b = 4 * b + a;
		a = (b - a) / 4;    //在没有使用第三变量的情况下，变量后移
	}
	printf("%d", sum);
}

要证明上关系式成立，只需证：
F(n)=4*F(n-3)+F(n-6)

证明过程如下：
F(n) = F(n-1) + F(n-2) 
= F(n-2)+F(n-3)+F(n-2)=2 F(n-2) + F(n-3) 
= 2(F(n-3)+F(n-4))+F(n-3))=3 F(n-3) + 2 F(n-4) 
= 3 F(n-3) + F(n-4) + F(n-5) + F(n-6) 
= 4 F(n-3) + F(n-6)

最后答案

4613732