隐马尔可夫模型学习笔记
马尔科链模型
- 一个系统有\(N\)个状态，随着时间的推移，系统从某一状态转移到另一个状态，设为时间t的状态，系统在时间t处于状态的概率取决于其在时间1，2，…，t-1的状态，概率为：
- 如果系统在时间\(t\)时刻的状态只与其在\(t-1\)时刻的状态有关，则该系统构成一个离散的一阶马尔科夫链（马尔科夫过程）：
- 如果只考虑独立于时间t的随机过程：
其中\(a_{ij}\)为转移概率，必须满足\(a_{ij}>=0\)，且\(a_{ij}\)的和为1。
例子
- 假设一段时间的气象可以用三种状态的马尔科夫模型\(M\)描述，S1：雨，S2：多云，S3：晴，状态转移矩阵为：
- 如果第一天为晴天，根据这一模型，在今后七天中天气O=“晴晴雨雨晴云晴”的概率为：
\begin{equation}
\begin{aligned}
&P(O|M)\
&= P(S_3,S_3,S_3,S_1,S_1,S_3,S_2,S_3|M)\
&=P(S_3)\cdot P(S_3|S_3)\cdot P(S_3|S_3)\cdot P(S_1|S_3)\cdot P(S_1|S_1)\cdot P(S_3|S_1)\cdot P(S_2|S_3)\cdot P(S_3|S_2)\
&=1 \cdot a_{33}\cdot a_{33}\cdot a_{31}\cdot a_{11}\cdot a_{13}\cdot a_{32} \cdot a_{23} \
&=1.536\times10^{-4}
\end{aligned}
\end{equation}
隐马尔科夫模型（HMM）
- 在马尔科夫模型中，每一个状态表示一个可以观察的事件
- 在HMM中观察到的事件是状态的随机函数，因此该模型十一双重随机过程，其中状态转移过程是不可观察的（隐蔽）的（马尔科夫链），而可观察的时间的随机过程是隐蔽的状态转换过程的随机函数（一般随机过程）。
HMM的三个假设
对于一个随机事件，有一观察值序列：\(O=O_1,O_2,...,O_TQ=q_1,q_2,...,q_T\)。
- 假设1：马尔科夫性假设（状态构成一阶马尔科夫链）
- 假设2：不动性假设（状态与具体时间无关）
- 假设3：输出独立性假设（输出仅与当前的状态有关）$$ P(O_1,...,O_T|q_1,...,q_T)= \prod P(O_t|q_t)$$
HMM定义
- 一个因马尔科夫模型（HMM）是有一个五元组描述的：$$ \lambda =(N,M,A,B,\pi )$$
其中
- \(N\)：状态的有限集合
- \(M\)：观察值的有限集合
- \(A\)：状态转移概率矩阵
- \(B\)：观察值概率分布
- \(\pi=｛\pi_i｝,\pi _i=P(q_1=s_i)\)：初始状态分布
观察序列产生步骤
- 1.根据初始状态概率分布\(\pi=\pi_i\)，选择一初始状态
- 2.设\(t=1\)
- 3.根据状态Si的输出概率分布b_{jk}，输出\(O_t=v_k\)
- 4.根据状态转移概率分布，转移到新状态\(q_{t+1}=S_j\)
- 5.设\(t=t+1\)，如果\(t<T\)，重复步骤3、4，否则结束
HMM的三个基本问题
令为给定HMM的参数
- 令\(O=O_1,...,O_T\)为观察序列，则HMM的三个基本问题为：评估问题、解码问题、学习问题
- 评估问题：
对于给定模型，求某个观察值序列的概率\(P(O|\lambda)\); - 解码问题：
对于给定模型和观察值序列，求可能性最大的状态序列\(max_Q {P(Q|O,\lambda)}\); - 学习问题：
对于给定一个观察值序列\(O\)，调整参数\(\lambda\)，使得观察值出现的概率\(P(O|\lambda)\)。
三个基本问题的求解算法
- 评估问题：前向算法
定义前向变量，采用动态规划算法，复杂度\(O(N^2T)\) - 解码问题：韦特比算法
采用动态规划算法，复杂度\(O(N^2T)\) - 学习问题：向前向后算法
EM算法是一个特例，带隐变量的最大似然估计
举个例子——天气与作习
举个常见的例子来引出下文，同时方便大家理解！比如我在不同天气状态下去做一些事情的概率不同，天气状态集合为{下雨，阴天，晴天}，事情集合为{宅着，自习，游玩}。假如我们已经有了转移概率和输出概率，即P(天气A|天气B)和P(事情a|天气A)的概率都已知道，那么则有几个问题要问（注意，假设一天我那几件事情中的一件）。
- 1.假如一周内的天气变化是 下雨->晴天->阴天->下雨->阴天->晴天->阴天，那么我这一周 自习->宅着->游玩->自习->游玩->宅着->自习的概率是多大？
- 2.假如我这一周做事序列是 自习->宅着->游玩->自习->游玩->宅着->自习，不知道天气状态的情况下这个做事序列的概率是多大？
- 3.假如一周内的天气变化是 下雨->晴天->阴天->下雨->阴天->晴天->阴天，那我们这一周最有可能的做事序列是什么？
- 4.假如我这一周做事序列是 自习->宅着->游玩->自习->游玩->宅着->自习，那么这一周的天气变化序列最有可能是什么？
参考网址：
http://blog.csdn.net/stdcoutzyx/article/details/8522078
http://wenku.baidu.com/link?url=mgefnHLJRHgX6zghIcnZPIU0KCW5A-R9BsSnwvvbTXwMuKrn5caBCOv860O1ICAUpdGtgElY5d6BcybY1mBfRCks2rKEz9dr9eIiP-s7HMm
