算法随笔（一）：动态维护分位数（第N大数，The N-th element）

查找分位数的典型算法是分治法$T(n)=O(n)$。但是对于动态数组来说，依然有优化空间。

 

问题描述：交易员在策略中要维护一个定长价格序列(N=3000)，交易所每推过来一个新的价格，需要从头部插入它，同时从尾部移走最早的价格。之后，获取它的10%分位数和90%分位数。根据分位数来获得交易信号。

最原始的做法是：每次更新价格后，排序，然后取10%，90%分位数。在实盘运行时自然没有问题，但是回测速度特别慢。因为它的时间复杂度是$T(n)=O(n\log n)$

使用分治法代替排序过程后，时间复杂度为$T(n)=O(n)$。依然不够快：

 

最终做法：

 1、建立一个Queue(内部实现：循环数组)，来按时间顺序存放价格。

2、建立三个SortedSet(内部实现：排序二叉树）: LeftSet，MiddleSet和RightSet。分别保存序列中最小的10%，中间的80%和最大的10%和价格。

 

每来一个价格p：

1、从Queue头部插入p，从尾部弹出最老的数据q。时间复杂度：$T(n)=O(1)$

2、从LeftSet, MiddleSet，RightSet三个集合中找到q，删除。若q在LeftSet中，删除后LeftSet的元素将少于10%。这时将MiddleSet中最小值移动到LeftSet中，再将RightSet的最小值移入MiddleSet。其他情况以此类推。时间复杂度：$T(n)=O(\log n)$

3、p插入LeftSet，这时候LeftSet中元素个数超过10%。所以将LeftSet最大值移入MiddleSet，在把MiddleSet最大值移入RightSet。最后删除RightSet中的最大值。时间复杂度：$T(n)=O(\log n)$

4、获取10%分位数=LeftSet.Max，90%分位数=RightSet.Min。时间复杂度：$T(n)=O(\log n)$

 

这样，整个操作时间复杂度降为$T(n)=O(\log n)$

 

当然，排序二叉树也可以用堆来代替。实现略有不同，这里省略。