1.复数
我们把形如a+bi的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位，a，b∈R.
在复平面内，任何一个复数都可以表示为r(cosθ+isinθ)的形式，其中，θ叫做该复数的辐角，即该复数在复平面内与实数轴的夹角，r为该复数的模.
2.棣莫弗定理
对于复数Z1，Z2，若：
Z1=r1(cosθ1+isinθ1)
Z2=r2(cosθ2+isinθ2)
则：Z1.Z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
3.棣莫弗定理的推广
对于复数Z1，Z2，Z3，...，Zn，若：
Z1=r1(cosθ1+isinθ1)
Z2=r2(cosθ2+isinθ2)
Z3=r3(cosθ3+isinθ3)
...
Zn=rn(cosθn+isinθn)
则：Z1.Z2.Z3...Zn=r1r2r3...rn[cos(θ1+θ2+θ3+...+θn)+isin(θ1+θ2+θ3+...+θn)]
一般地，若，Z1=Z2=Z3=...=Zn
则，棣莫弗定理的乘方形式可表为：
[r(cosθ+isinθ)]^n=r^n(cosnθ+isinnθ)
4.棣莫弗定理乘方形式的证明
证明
将e^x,cosx,sinx分别展开成泰勒级数：
e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!...
将x=ix代入上式
可得欧拉公式：e^ix=cosx+isinx
应用该公式可得：(cosx+isinx)^n=(e^ix)^n=e^inx=cos(nx)+isin(nx)
所以：(cosx+isinx)^n=cos(nx)+isin(nx)
因此：[r(cosθ+isinθ)]^n=r^n(cosnθ+isinnθ)
证毕
5.棣莫弗定理一般形式的证明
证明
对于以下形式：
Z1=r1(cosθ1+isinθ1)
Z2=r2(cosθ2+isinθ2)
Z3=r3(cosθ3+isinθ3)
...
Zn=rn(cosθn+isinθn)
根据：e^iθ=cosθ+isinθ，有：
Z1=r1e^iθ1
Z2=r2e^iθ2
Z3=r3e^iθ3
...
Zn=rne^iθn
所以：Z1.Z2.Z3...Zn=r1r2r3...rne^i(θ1+θ2+θ3+...+θn)
根据：e^iθ=cosθ+isinθ，令，θ=θ1+θ2+θ3+...+θn，有：
e^i(θ1+θ2+θ3+...+θn)=cos(θ1+θ2+θ3+...+θn)+isin(θ1+θ2+θ3+...+θn)
所以：Z1.Z2.Z3...Zn=r1r2r3...rne^i(θ1+θ2+θ3+...+θn)=r1r2r3...rn[cos(θ1+θ2+θ3+...+θn)+isin(θ1+θ2+θ3+...+θn)]
因此：Z1.Z2.Z3...Zn=r1r2r3...rn[cos(θ1+θ2+θ3+...+θn)+isin(θ1+θ2+θ3+...+θn)]
证毕
