今天是一个明朗的日子，心情闲暇，于是，研究了一下我国的算术，我国的算术其实是非常博大精深的，只是由于某些偶然原因，我国算术没能发展起来，否则，现代算术中心必在东方之华夏，在我的印记中，我们中学以前所学的算术思想，总体都体现了东方之华夏的风格.
原载<<孙子算经>>卷下第二十六题
今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?
通俗来讲，该问题的意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下两个，五个五个地数，会剩下三个，七个七个地数，也会剩下两个，这些物品的数量至少是多少个?
我们可以用孙子定理来解决该问题，孙子定理是我国古代求解一次同余式组的方法，用现代数学语言来说明的话，即：设m1，m2，m3，...，mk，...，mn，是两两互素的正整数，那么，对于任意整数，a1，a2，a3，...，ak，...，an，一次同余方程组：
x≡a1(mod m1)
x≡a2(mod m2)
x≡a3(mod m3)
...
x≡ak(mod mk)
...
x≡an(mod mn)
其解为，x≡M1.M1^(-1).a1+M2.M2^(-1).a2+M3.M3^(-1).a3+...+Mk.Mk^(-1).ak...+Mn.Mn^(-1).an(mod m)，这里，m=m1.m2.m3...mk...mn
Mj=m/mj，MjMj^(-1)≡1(mod mj)，(1≤j≤k)
孙子定理的证明：
由于，m1，m2，m3，...，mk，...mn，两两互素
所以，m=[m1，m2，m3，...，mk，...，mn]=m1.m2.m3...mk...mn
若，一次同余方程组有解c1，c2，则：c1≡c2(mod m)
因为，m1.m2.m3...mk...mn两两互素，c1≡c2(mod mj)，1≤j≤k
这即证明了同余方程若有解，则解数为1
下证，x=M1.M1^(-1).a1+M2.M2^(-1).a2+M3.M3^(-1).a3+...+Mk.Mk^(-1).ak...+Mn.Mn^(-1).an，确实是同余方程组的解，显然，(mj，Mj)=1
所以，满足MjMj^(-1)≡1(mod mj)的Mj^(-1)必存在
由MjMj^(-1)≡1(mod mj)以及mj|Mi(j≠i)，于是推出：
x=MjMj^(-1).aj≡aj(mod mj)
即，x是解
于是，则有：
x≡2(mod 3)
x≡3(mod 5)
x≡2(mod 7)
先求被3除余2，并能同时被5，7整除的数，这样的数最小是35，再求被5除余3，并能同时被3，7整除的数，这样的数最小是63，然后求被7除余2，并能同时被3，5整除的数，这样的数最小是30，于是，由35+63+30=128，得到的128就是一个所要求得的数，但这个数并不是最小的，再用求得的128减去或者加上3，5，7的最小公倍数105的倍数，就得到许许多多这样的数：{23，128，233，338，443，...}，从而可知，23，128，233，338，443，...都是孙子问题的解，而其中最小的解是23.
即，x=23
南宋数学家秦九韶在1247年著成<<数书九章>>十八卷，全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中对大衍求一术、正负开方术、高次方程的数值解法等有十分深入的研究，其中的大衍求一术，即，一次同余组解法，1852年，大衍求一术传入欧洲，人们发现大衍求一术和高斯的定理是一致的，而我国的研究早了一千多年，于是欧洲人就将大衍求一术，即，一次同余组解法称之为中国剩余定理，美国科学史家萨顿称赞秦九韶是：他那个民族、他那个时代，并且也是所有时代最伟大的数学家之一，孙子问题的解法可以推广成解一次同余式组的一般方法，秦九韶给出了理论上的证明，并将它定名为：大衍求一术.
我们将孙子定理推广到一般情形，就可以得到大衍求一术(现代表示)，如下：
设有一数N，分别被两两互素的正整数A1，A2，A3，...，An相除得余数R1，R2，R3，...，Rn，即：
N≡Ri(mod Ai)，i=1，2，3，...，n
若，求出一组正整数ki，i=1，2，3，...，n，使其满足ki.(M/Ai)≡1(modAi)，则适合已给一次同余式组的最小正整数为：
N=∑ki.(M/Ai).Ri-l.M，i∈[1,n]且i∈Z+，(l是某一整数，M=A1.A2.A3...An)
这即为大衍求一术的现代表示
以前，ki叫作乘率，各Ai叫作定数，M=ΠAj，j∈[1,n]且j∈Z+，叫作衍母，M/Ai叫作衍数，大衍求一即为求乘率ki的值，为简单起见，我们把M/Ai记为G，把Ai记为A，ki记为k，则，大衍求一即变为在G，A互素的情形下求满足于：kG≡1(mod A)的k值
若，G>A，则，令G/A，求得余数g<A，则，G≡g(mod A)，从而，kg≡1(mod A)和kG≡1(mod A)等价，因此，问题即变为求满足于kg≡1(mod A)的k值，g称为奇数.
大衍求一术求解问题的思想是：把g置于右上，A置于右下，左上置天元一，g和A辗转相除，继而得商q1，q2，q3，...和余数r1，r2，r3，...，同时，按照一定的规则在左下，左上计算c1，c2，c3，...，直到右上rn=1为止(此时，n必为偶数，当rs=1且s为偶数时，则，令q(s+1)=r(s-1)-1，即有r(s-1)=rsq(s+1)+r(s+1)，则，令n=s+1，rn=r(s+1)=1)，则，左上的cn=qnc(n-1)+c(n-2)便是所求的k值，现代表示即为：
于是，记c0=1，c1=q1，ci=qici-1+ci-2，d0=0，d1=1，di=qidi-1+di-2，diA-cig=(-1)^(i-1)ri(i=1，2，3，...，n)，当rn=1(n为偶数)时，有：dnA-cng=(-1)^(n-1)rn=-1，从而，cng≡1(mod A)，因此，cn=qncn-1+cn-2，即为所求k值，如论如何，最后一步都出现余数1，整个计算到此为止.
