对位运算与逻辑电路统一性的浅显理解(入门)
前言
（题目我大概是随便编的，感觉叫这个比较能概括我总结的主题）
在学OI的过程中，我一开始完全不懂位运算，后来经过一些题目的记忆，也是能够记下来算术运算符它们的效果和作用，但是总是忘记每个运算符具体的效果，比如或运算与运算之类。
今天无意间翻开物理书，看到逻辑电路那一节，里面的与，或不就是算术位运算的效果吗？我突然感到自己是个弱智，先前都是在死记硬背(数学课讲逻辑的时候也有与和或，当时没有联想到按位运算，只是想到了对于条件且(&&)和条件(||)的类比)
（我死记硬背的方法——在便笺里放着小口诀）
于是我打算改变我憨批一般的死记硬背，从更基本的逻辑电路出发来记忆和理解各个位运算的效果。
将数学语言上的逻辑，计算机上的逻辑(程序语言)，电路上的逻辑(其实也是计算机底层的逻辑吧)统一起来，让自己更清晰。
而众所周知，计算机位运算中有 “与” “或”“非”“异或”四种算术位运算，下面将分别分析和统一它们。
##事先备注，下文的表述中在数学上只是逻辑语言，用于一种描述或进行推论；而表现在计算机中，这些逻辑运用都是二进制下按位运算，也就是对二进制数的每一位都进行这样的逻辑运算；物理上就是逻辑门的关系，(当然还存在“与非”“或非”等等，本文只讲述与c++位运算有关内容,这些并无直接对应，但可以通过组合实现)。它们只是在逻辑上统一，具有相同的逻辑关系，并非含义等同。
基本介绍
-
与 :
符号:
数学： ∧ （这个不是^（次方或者异或符号）,是逻辑与）
计算机(c++)（其实是按位与) : and & （整条语句为“&&”）
具体描述 :
都为真才为真 ，或者说 输入都为1(true) 才输出 1(true) ，再或者说 条件都为1(true) 结论才为1(true)。
对于c++来说，使用第二条来记录比较具象(就是我便笺上写的)。
物理上的逻辑(开关串联):
我们规定开关关闭(断路)则表示条件(逻辑再者说输入)为0(假)，开关开启(通路)则表示条件(逻辑再者说输入)为1(真)，
两者都为1的时候，两者都为0(0&0)，灯泡的状态为不亮，即表现为0(假)；同时，开关一开一关(0&1)，
显然灯泡也不会亮，即表现为0(假);只有二者均为1(1&1)的时候，灯泡才会亮，即表现为1(真)；
运算表达式：
数学(其实数学这里“与”其实是“逻辑且(逻辑与)”吧，对应在程序里是&&而不是按位与的&，但它们在逻辑上是并通的):
如果条件p为假，条件q为假，那么 p∧q=假;
如果条件 p为真，q为假或者p为假，q为真 ，那么p∧q=假;
如果p，q都为真，那么p∧q=真
抽象点(有定义，乘法为与，"＋"表逻辑或，条件加“ ' ”为非):
F=AB (AB都为1，F才为1)
计算机(二进制按位运算):
0&0=0；1&0=0；0&1=0；1&1=1；
物理：这咋表达？这个只能用图
逻辑上的统一就是：都为真才得到真（这不还是那句话？——但是我们多了个物理含义！是不是更好记了？）
-
或:
符号:
数学: ∨
计算机(c++): or | （对于整条语句来说是“||”）
具体描述：
只要有一个为真就是真，都为假时才是假；或者说输入有一个为1(true)就是1(true)，都为0(false)才是假；
再或者说，条件有一个为1(true)结论就为1(true),条件均为0(false)结论才为0(false)。
对于c++来说，仍然是第二条。
物理上的逻辑(开关并联):
同样的，开关通路(开)则表示1，断路(关)则表示0。如图
两者都为1(开)的时候(1|1)，则为1，任意一者为1(1|0)的时候也为1，即这两种情况灯是亮的；
而只有两者都为0(0|0)的时候才为0，即灯是不亮的；
运算表达式：
数学(同逻辑与，数学的含义实际类似于“||”)：
如果条件p,q至少有一个为真，则p∨q=真。
如果条件都为假，则p∨q=假。
抽象点(有定义，乘法为与，"＋"表逻辑或，条件加“ ' ”为非):
F=A+B (AB只要有一个为1，F就不为0)
计算机(二进制按位运算)：
1|1=1；0|1=1；1|0=1;0|0=0;
物理：并联开关一个为开则干路上的灯为亮，都关了才不亮。
逻辑上的统一就是:都为假才是假
-
非：
符号：
数学: ¬
计算机(c++): ~ (对于整条语句来说是“!”，不过在c++的条件语句里，二者都可以作用于一个判断语句的真假，但对数字按位取反要用~)
具体描述:
是真则为假，是假则为真。输入为输出相反。条件与结论相反。
c++同样为第二条。
物理上的逻辑(开关串联，与灯泡并联):
同上，很显然的就是，开关打开(通路)时灯泡不亮(被短路了) (!1)，即为0，开关关闭(断路)时灯泡亮(!0)，即为1。
运算表达式：
数学： 若p为真，则¬p为假
若p为假，则¬p为真
抽象点(有定义，乘法为与，"＋"表逻辑或，条件加“ ' ”为非):
F=A'
计算机(二进制按位运算): 这个比较特殊，因为如果要按位非的话，也就是按位取反
由于计算机内一个数字变量类型的最高为(比如int的第32位)符号位，按位取反则对从32到1所有取反
所以说~1=-2，~0=-1。但是
!0=1 !1=0
实际上除了!0之外的所有数进行!操作，都是0
"!"只是逆转真假罢了，一个数只有是0的时候才是假，所以只有0的时候进行"!"才是真，于是造成了这样的结果。
物理:开开关灯就灭，关开关等就亮
统一的逻辑就是:是真则为假，是假则为真
-
异或：
符号：
数学: ⊕
计算机(c++): xor ^
具体描述:
相同则为假，相异则为真。输入都为0或1则为假，输入为一0一1则为真。条件都真或者都假结论就假，条件一真一假才为真。
c++同样为第二条。
物理上的逻辑(不好用语言描述图了，口胡一下:非电路和另一开关构造与电路，再交换开关复制成或电路):
图一(严格按照数学表达式)：
， 
令上下的并联开关为k1，可以理解为同一个开关，二者操作同时，表达同时同等，k2理解为另一个开关，二者同时同等。
当k1打开，k2关闭的时候(1^0)，上路的灯可以亮，当k2打开，k1关闭的时候(0^1)，下路的灯可以亮。
当k1，k2都关闭(0^0)或者都打开(1^1)的时候，两个路的灯都不可以亮。
总的表示就是开关状态相同则不亮，开关状态不同则亮。
图2(与非电路串或电路，并借此分析异或的条件与结论的关系):
如图。还是两个k1同步,两个k2同步。（下面的叙述较长，于是我以插入代码的形式压缩了起来）
左边这团电路是"与非电路"，与非电路即先与再非的电路，当"与"表达为假的时候总表达为真，反之为假。 右边的或电路和灯是串的，所以逻辑就是单纯的或。 如果只有左电路，开关都打开灯一定不亮，灯不亮时开关一定都打开(开关是通路,灯被短路)，二者互为充要条件。 放在整个电路中，虽然灯不亮时开关不一定都打开，但开关都打开时灯一定不亮(被短路)， 所以开关都打开是灯不亮的充分不必要条件，灯不亮是开关都打开的必要不充分条件。 如果只有右电路，开关都关闭灯一定不亮，灯不亮时开关一定都关闭(灯被断路)，二者互为充要条件。 放在整个电路中，虽然灯不亮时开关不一定都关闭，但开关都关闭时灯一定不亮， 所以开关都关闭时灯不亮的充分不必要条件，灯不亮是开关都关闭的必要不充分条件。 以上分析可知，开关都开或者都闭的时候(0^0或者1^1)，灯一定不亮(0)。灯不亮的时候一定是开关都开或都关的时候。 也就是说，开关状态一致和灯的不亮，互为充要条件,既然它们互为充要，如果画成韦恩图，二者等价。 到这里可以用数学的逻辑推出来开关不一致对应的是灯亮： 很明显开关状态不一致是和开关状态一致是相反的说法，没有交集，所以说它对开关的不亮是既不充分也不必要条件。 因为开关如果分成一致(0)或不一致(1)只有0/1两个状态，灯泡的亮与不亮也只有两个状态，所以说灯亮的时候一定和开关状态不一致时等价的。 也就是说开关状态不一致的时候，灯一定是亮的。 具体来说，开关状态不一致的时候，"与非电路"为真(1)，而或电路也为真(1)，二者又是与的关系，都为真(1) 则表达为真(1)，所以说灯泡就是亮的，为真(1)。
其实个人觉得两个图都比较好记，图一的优点在于完全对应数学表达，图二的优点在于不在乎k1，k2的交换，只要左右电路分别有对k1，k2就行。
运算表达式：
数学：条件p和条件q一真一假,则 p ⊕ q=真
条件p和条件q都为真或者都为假，则p ⊕ q =假
抽象点(有定义，乘法为与，"＋"表逻辑或，条件加“ ' ”为非):
F=AB'+A'B（完全对应图1,图二相当于 F=(AB)'(A+B),两式结果相同）
计算机(c++):
0^0=0;1^1=0;0^1=1;1^0=1;
统一的逻辑就是：同则为0，异则为1。
后记
写下来花了两三个小时，尽管已经查阅资料尽量保证语言的严谨性，但总怕难免有我误解的地方。
不过大的错误应该没有，或许会有小地方术语说错的，不过不影响物理图数学公式和c++逻辑上的统一性。
写完之后感觉自己受益良多，强化加深了自己在逻辑运算和位运算方面的理解，甚至包括一些c++语法上的理解。
同时我再也不会忘了这些算术运算符在c++的效果了。
到此结束!
希望看到的人也能有收获，同时欢迎各位提出建议，批评指正。
