DP练!习!

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都是水题啊 Made By M1kuFan

1 洛谷 P2513

求长度为 $n$ ，逆序对个数为 $K$ 的排列有多少个，答案对 $1e9 + 7$ 取模

其中：$1 \le n,K\le100$

仅考虑从大到小向序列中插入每个数的位置，当前插入到了第 $i$ 个。最少的时候对答案贡献为0，即插入到已有序列的最右边；最多的时候对答案的贡献为 $i - 1$ ，即插入到了最右边。因此，排列中从小到大的第一个数对答案的贡献为 $[0,n - 1]$，第 $i$ 个数对答案的贡献为 $[0,n - i]$ 。

所以原问题转化为：构造一个长度为 $n$ 的序列，令序列中第 $i$ 个数为 $x_i$ 求满足$\forall i \in[1,n]$ , $0 \le x_i\le n - i$ 且$\sum x_i=K$的方案数

不难写出从大到小枚举的转移方程：
$f_{i,j}$ 表示长度为 $i$ 的序列和为 $K$ 的方案数 ($1\le i\le n,1\le j\le K$)

枚举 $k$ 表示第 $i$ 个数选了什么，则：

$$f_{i,j} = \sum_{k = 0}^{min(i - 1,j)} f_{i,j-k}$$

边界：$f_{0,0} = 1$

前缀和优化或者吸一口氧+循环展开即可优秀地通过此题

2 简单题

给出一个 $2 \times n$ 的网格，你现在需要用 $n$ 个 $2 \times 1$的多米诺骨牌覆盖满整个网格（可以横着或者竖着放），求方案书

考虑现在进行到了第 $i$ 列，$ans_i$ 表示第 $i$ 列之前（包含第 $i$ 列）全部放满的方案数，有以下两种情况：

1. 竖着放：则 $ans_i = ans_{i - 1}$
2. 横着放：若横着放，则两行都应该是横着的，则 $ans_i = ans_{i - 2}$

所以：$ans_i = ans_{i-1} + ans_{i-2}$

边界：$ans_1 = 1$，$ans_2 = 2$

3.1 简单题2 ABC312D

给定一个为 $N$ 的仅包含左括号、右括号、问号的序列，问号可以变成右括号或左括号，求最终的到合法括号序列的方案数量，答案对998244353取模。

$N \le 3000$

把左括号当成 $1$ ，右括号当成 $-1$ 。

令 $f_{i,j}$ 表示枚举到第 $i$ 个数，所有数的和 $j$ 的方案数

转移有以下下情况：

1. 当前是左括号，则：$f_{i,j} = f_{i-1,j - 1}$
2. 当前是右括号，则：$f_{i,j} = f_{i - 1,j + 1}$
3. 当前是问号，则：$f_{i,j} = f_{i - 1,j - 1} + f_{i - 1,j + 1}$

注意 $j - 1$ 不要越界

边界: $f_{0，0} = 1$

3.2 学霸题（简单题2加强版）CF314E

给定一个长度为 $N$ 的仅包含左括号和问号的序列，求最终得到合法括号序列的方案数量，答案对4294967296取模（注意给定括号序列不包含右括号）

$N \le 100000$，注意时限给到了4s

上面 $N^2$ 的枚举显然不足以通过此题，所以我们要优!化!

注意到当右括号大于当前长度的一半的话，就会寄，一定不合法

所以我们可以把状态中的和为 $j$ 改成右括号的个数为 $j$ 。这样就减少了一半的枚举量

当前元素为左括号时 $f_{i,j} = f_{i-1,j}$

注意到 $f_{i,j}$ 仅由上一层转移，所以我们可以滚！掉第一维

这样我们就可以仅在当前元素为问号时转移

另外模数是$4294967296 = 2^{32}$ 要开unsigned int 自然溢出。

然后我们就可以优雅地通过此题

4 BZOJ2466

线性DP做腻了，来道树形DP!

给定一棵树，每个节点有一盏指示灯和一个按钮。如果节点的按扭被按了，那么该节点的灯会从熄灭变为点亮（当按之前是熄灭的），或者从点亮到熄灭（当按之前是点亮的）。并且该节点的直接邻居也发生同样的变化。

开始的时候，所有的指示灯都是熄灭的。请编程计算最少要按多少次按钮，才能让所有节点的指示灯变为点亮状态。

$1\le n \le 100$

树形DP经典思路：根据儿!子!来确定父!亲！, 除非他没！有！儿！子！

不难想到以下思路：

我们不仅需要考虑一个点是开着还是关着，还需要关心一个点是否操作过，因为儿子的操作会影响到父亲，不难设计出如下状态，

$f_{u,0/1,0/1}$ 代表保证 $u$ 的子树中的点全都是开着的情况下：使 $u$ 是关着/开着并且 $u$ 操作过/未操作过的最小操作数

转移方程分情况讨论即可，非常简单：

$$\begin{cases} f_{u,0,0} = min(f_{u,0,0} + f_{v,1,0}, f_{u,1,0} + f_{v,1,1} )\\ f_{u,0,1} = min(f_{u,0,1} + f_{v,0,0}, f_{u,1,1} + f_{v,0,1}) \\ f_{u,1,0} = min(f_{u,1,0} + f_{v,1,0}, f_{u,0,0} + f_{v,1,1}) \\ f_{u,1,1} = min(f_{u,1,1} + f_{v,0,0}, f_{u,0,1} + f_{v,0,1}) \end{cases}$$

注意树形DP计算时要开中间变量避免错误

边界：

$f_{u,0,0} = 0$

$f_{u,1,1} = 1$

$f_{u,1,0} = f_{u,0,1} = INF$ （不合法）

答案：

$min(f_{root,1,0},f_{root,1,1})$