【构造题】 CF1754B题解

题目大意

共有 \(t\) 组测试数据，每组测试数据中有一个整数 \(n\)，请求出一个排列，由 \(1 , 2 , 3 , 4 ,\cdots n\) 组成，使这个排列相邻的两元素的最小的差的绝对值最大。

即：

求一个 \(1\sim n\) 的排列 \(p\)，使得

\[\min\limits_{i=1}^{n-1}\lvert p_{i+1}-p_i\rvert \]

最大。

解题过程

看到这种题如果没有思路（或者无法冷静思考）

可以多推几组答案（或写个暴力程序）

（注意，当 \(n\) 为奇数时可以有多种排列情况）

为了练习分析能力，我构造了一种较为一般的情况

不难发现，答案中的排列顺序是按照n的奇偶来分类讨论的，而且很容易就可以发现规律。

具体情况如下：（为了方便起见，用 \(s\) 来表示答案序列）

当 \(n\) 为偶数时，

1. \(s\) 的第一个元素为 \(\dfrac{n}{2}\)，接下来的一个元素为 \(\dfrac{n}{2}+\dfrac{n}{2}\)，这可以视为一组排列；

2. 下一组排列的第一个元素为 \(\dfrac{n}{2}-1\)，第二个元素为 $\dfrac{n}{2}-1+\dfrac{n}{2} \cdots $。

我们已经发现了简单的规律，可以用循环来实现。

当 \(n\) 为奇数时，

1. \(s\) 的第一个元素始终是 \(1\)，下一个元素为 $1+ \left \lfloor \dfrac{n}{2} \right \rfloor $;

2. 接下来是从 \(n\) 开始两两一组的排列，用 \(i\) 来表示第 \(i\) 组排列。第 \(i\) 组排列的第一个元素为 \(n-i+1\)，第二个元素为 $n-i- \left \lfloor \dfrac{n}{2} \right \rfloor $；

3. \(s\) 的最后一个元素是 $2+\left \lfloor \dfrac{n}{2} \right \rfloor $。

在比赛的过程中我们推出规律已经可以结束了。

下面是这样构造的原因

我们不难发现，无论我们怎么构造这个最大的最小值始终为\(\left \lfloor \dfrac{n}{2} \right \rfloor\)。

那么我们是每组相邻的连个元素的差为 $\left \lfloor \dfrac{n}{2} \right \rfloor $ 即可，即：$\left { x,x+\left \lfloor \dfrac{n}{2} \right \rfloor \right } $ 满足我们在上面发现的规律。

现在我们需要解决相邻两组的差：

1. 当 \(n\) 为偶数时，很简单就可以发现，将每组的第一个元素从大到小排列即可；

2. 当 \(n\) 为奇数时，可以有多种合法的情况，可以把 \(n\) 放在两端，或者是中间的位置。最简单的就是放在开头或者是末尾，至此，我们发现可以优化我们之前所发现的较为复杂的规律。

总结

1. 如果你发现了构造方式，可以用手推答案规律来验证你构造方式的正确性

2. 如果你推出了规律，也可以冷静思考这个规律的原因

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<climits>
using namespace std;
int read() {
	int x = 0, w = 1;
	char ch = 0;
	while (ch < '0' || ch > '9') {
		if (ch == '-') 
			w = -1;
		ch = getchar();               
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {  
		x = x * 10 + (ch - '0');  
		ch = getchar();
	}
	return x * w;  
}
int n,t;
int main()
{
	t=read();
	while(t--)
	{
		n=read();
		if(n%2==0)
		{
			int mid=n>>1;
			for(int i=mid;i>=1;i--)
			{
				printf("%d %d ",i,i+mid);
			}
		}
		else
		{
			int mid=((n-1)>>1);
			for(int i=mid;i>=1;i--)
			{
				printf("%d %d ",i,i+mid);
			}
			printf("%d",n); //在末尾加上n
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}