无向图最小割

有关规定：

• 一.Gomory-Hu树

 定义一棵树 $T=(V,E_T)$ 为最小割树，当且仅当 $δ(W)$ 是某个 $α(s,t)$，$W$ 是 $T$ 删去边 $(s,t)$ 后其中一个联通块

 实现：

 这个做法的主要问题在于为什么边 $(r',r'')$ 是合法的

 首先我们知道 $\alpha(r_1,r_2)$ 是 $r',r''$ 的一组割，那么我们需要证明的就是 $λ(r',r'')\ge λ(r_1,r_2)$

 考虑一般情况即 $r_1\ne r',r_2\ne r''$

 如果 $λ(r_1,r')<λ(r_1,r_2)$，由于 $v_1\in C_{r'}^1$，即这次之后 $r'$ 和 $v_1$ 始终未被割开

 又因为 $r_1$ 与 $r'$ 最终一定已经被割开，可知 $λ(r_1,r')$ 也是 $r_1,r_2$ 的一个割

 那么 $λ(r_1,r')< λ(r_1,r_2)$ 就与 $λ(r_1,r_2)$ 是最小割矛盾了

 所以 $λ(r_1,r')\ge λ(r_1,r_2)$

 那么 $λ(r',r'')\ge max(λ(r',r_1),λ(r_1,r_2),λ(r_2,r''))=λ(r_1,r_2)$

 

 非递归实现：

 考虑递归的过程我们其实不是那么在意递归的顺序，只是在不停地拆分点集直到所有点集大小都为 $1$

 考虑这样的做法：

 每个时刻，用每个点集中最小的点来代表这个点集，对每个点记录 $fa_u$

 如果 $u$ 就是集合的代表点，那么 $(fa_u,u)$ 代表一条真正的Gomory-Hu树边，否则代表归属关系

 每次枚举所有点，对于每一条是归属关系的边进行拆分

 设 $v=fa_u$，先求出 $(u,v)$ 的最小割

 那么考虑划分情况，首先对于所有被划分到 $u$ 一侧且 $fa=v$ 的点的 $fa$ 设为 $u$ 且边权不变

 然后还需要特殊考虑 $fa_v$ 被划分到了 $u$ 一侧的情况，需要把 $fa_u$ 设为 $fa_v$

 最后考虑在两个点集之间连上一条边权为最小割的边，如果 $fa_v$ 不在 $u$ 一侧就令 $fa_u=v$ 来代表这条边

 否则令 $fa_v=u$ 来代表这条边

 

• 二.等价流树

 定义一棵树 $T=(V,E_T)$ 等价流树，$(s,t)$ 路径上的最小权值就是两个点的最小割

 等价流树的构造更加简单，每次求出 $(s,t)$ 的最小割后直接连边 $(s,t,maxflow)$ 就行了

 

• 三.全局最小割

 无向图中最小的一个割

 显然的，我们可以直接通过求最小割树/等价流树来解决这个问题

 但我们有复杂度更好的做法

 Stoer-Wagner算法

 我们知道任意两个点要么在全局最小割的一侧，要么他们的最小割就是全局最小割

 所以我们只要每次随便找两个点然后合并最后就能得到全局最小割

 随意找两个点之间的最小割可以用最大邻接搜索算法

 

 Karger算法

 不带权图：每次随机选取两个点缩点并删掉自环，直到只剩下两个点

 经过证明发现运行一次算法的正确率是 $\binom{|V|}{2}^{-1}$，那么只要运行 $|V|^2$ 次就可以得到一个常数正确率了

 带权图：带边权的一条边可以看作边权条重边，但我们需要修改每条边被选中的概率才能保证正确率

 显然的，一条边被选中的概率应该是该边边权占所有边权的比例

 具体实现中，我们维护一个边的有序集合

 每次在[0,剩下的边权和]中随机选一个数x，找到集合中第一条边使得他之前所有边边权之和不小于这个数，这个集合可以树状数组维护