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线性代数

线代再 OI 这块主要是行列式(别的我也没见过

  • 一.行列式

1.定义
 行列式是数学中的一个函数,是将 n\times n 的矩阵 A 映射为一个标量,记作 det(A)/|A|

 一个 n 阶行列式直观定义如下:det(A)=\sum\limits_{\sigma}sgn(\sigma)\prod\limits_{i=1}^na_{i,\sigma(i)}

\sigma 代表一个 \{1,2...n\} 的排列,sgn(\sigma) 表示 (-1)^{\sigma 中逆序对个数 +1}

 

2.性质

 1.当有一行 / 列的值全为 0det(A)=0

 2.若某一行有公因子 k,可直接提出
维基上偷来的图

 3.在行列式中,某一行(列)的每个元素是两数之和,则此行列式可拆分为两个相加的行列式

 4.行列式中的两行(列)互换,改变行列式正负符号

 5.在行列式中,有两行(列)对应成比例或相同,则此行列式的值为0

 6.将一行(列)的 k 倍加进另一行(列)里,行列式的值不变

  注意:一行(列)的 k 倍加上另一行(列),行列式的值改变

 7.矩阵转置后行列式的值不变

 8.行列式的乘法定理:det(AB)=det(A)det(B)

 特别的,det(rA)=det(rI_nA)=det(rIn)det(A)=r^ndet(A)

 对乘法公式进行扩展,可以得到所谓 柯西–比内公式,从而使得只要两个矩阵的乘积是方块矩阵,就有类似于以上的结果

 例如,对于 n\times m 的矩阵 Am\times n 的矩阵 B,设 S 为从 \{1,2...n\} 中选出 m 个元素的子集

 则有 det(AB)=\sum\limits_{S}det(A_s)det(B_s)(如果 n<m 则规定 det(AB)=0)

 8.若 A 为可逆矩阵,则 det(A^{-1})=det(A)^{-1}

 

行列式的展开

 1.余子式

M_{i,j} 为矩阵 A 去掉 ij 列之后的行列式

 2.代数余子式

M 关于 M_{i,j} 的代数余子式定义为 C_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}

 3.拉普拉斯展开

det(M)=\sum\limits_{i=1}^nm_{i,j}C_{i,j}=\sum\limits_{j=1}^nm_{i,j}C_{i,j}

posted @   mikufun♘  阅读(678)  评论(0编辑  收藏  举报
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