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线性代数

线代再 OI 这块主要是行列式(别的我也没见过

  • 一.行列式

1.定义
 行列式是数学中的一个函数,是将 n×n 的矩阵 A 映射为一个标量,记作 det(A)/|A|

 一个 n 阶行列式直观定义如下:det(A)=σsgn(σ)ni=1ai,σ(i)

σ 代表一个 {1,2...n} 的排列,sgn(σ) 表示 (1)σ+1

 

2.性质

 1.当有一行 / 列的值全为 0det(A)=0

 2.若某一行有公因子 k,可直接提出
维基上偷来的图

 3.在行列式中,某一行(列)的每个元素是两数之和,则此行列式可拆分为两个相加的行列式

 4.行列式中的两行(列)互换,改变行列式正负符号

 5.在行列式中,有两行(列)对应成比例或相同,则此行列式的值为0

 6.将一行(列)的 k 倍加进另一行(列)里,行列式的值不变

  注意:一行(列)的 k 倍加上另一行(列),行列式的值改变

 7.矩阵转置后行列式的值不变

 8.行列式的乘法定理:det(AB)=det(A)det(B)

 特别的,det(rA)=det(rInA)=det(rIn)det(A)=rndet(A)

 对乘法公式进行扩展,可以得到所谓 柯西–比内公式,从而使得只要两个矩阵的乘积是方块矩阵,就有类似于以上的结果

 例如,对于 n×m 的矩阵 Am×n 的矩阵 B,设 S 为从 {1,2...n} 中选出 m 个元素的子集

 则有 det(AB)=Sdet(As)det(Bs)(如果 n<m 则规定 det(AB)=0)

 8.若 A 为可逆矩阵,则 det(A1)=det(A)1

 

行列式的展开

 1.余子式

Mi,j 为矩阵 A 去掉 ij 列之后的行列式

 2.代数余子式

M 关于 Mi,j 的代数余子式定义为 Ci,j=(1)i+jMi,j

 3.拉普拉斯展开

det(M)=ni=1mi,jCi,j=nj=1mi,jCi,j

posted @   mikufun♘  阅读(678)  评论(0编辑  收藏  举报
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