线性代数
线代再 OI 这块主要是行列式(别的我也没见过
- 一.行列式
1.定义
行列式是数学中的一个函数,是将 n\times n 的矩阵 A 映射为一个标量,记作 det(A)/|A|一个 n 阶行列式直观定义如下:det(A)=\sum\limits_{\sigma}sgn(\sigma)\prod\limits_{i=1}^na_{i,\sigma(i)}
\sigma 代表一个 \{1,2...n\} 的排列,sgn(\sigma) 表示 (-1)^{\sigma 中逆序对个数 +1}
2.性质
1.当有一行 / 列的值全为 0 时 det(A)=0
2.若某一行有公因子 k,可直接提出
3.在行列式中,某一行(列)的每个元素是两数之和,则此行列式可拆分为两个相加的行列式
4.行列式中的两行(列)互换,改变行列式正负符号
5.在行列式中,有两行(列)对应成比例或相同,则此行列式的值为0
6.将一行(列)的 k 倍加进另一行(列)里,行列式的值不变
注意:一行(列)的 k 倍加上另一行(列),行列式的值改变
7.矩阵转置后行列式的值不变
8.行列式的乘法定理:det(AB)=det(A)det(B)
特别的,det(rA)=det(rI_nA)=det(rIn)det(A)=r^ndet(A)
对乘法公式进行扩展,可以得到所谓 柯西–比内公式,从而使得只要两个矩阵的乘积是方块矩阵,就有类似于以上的结果
例如,对于 n\times m 的矩阵 A 和 m\times n 的矩阵 B,设 S 为从 \{1,2...n\} 中选出 m 个元素的子集
则有 det(AB)=\sum\limits_{S}det(A_s)det(B_s)(如果 n<m 则规定 det(AB)=0)
8.若 A 为可逆矩阵,则 det(A^{-1})=det(A)^{-1}
行列式的展开
1.余子式
M_{i,j} 为矩阵 A 去掉 i 行 j 列之后的行列式
2.代数余子式
M 关于 M_{i,j} 的代数余子式定义为 C_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}
3.拉普拉斯展开
det(M)=\sum\limits_{i=1}^nm_{i,j}C_{i,j}=\sum\limits_{j=1}^nm_{i,j}C_{i,j}
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】博客园社区专享云产品让利特惠,阿里云新客6.5折上折
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步