博弈论

• 一.\(SG\) 函数

 定义 \(SG(S)=mex(SG(T))\)，\(T\) 为 \(S\) 的后继状态

 一般来说，博弈论的许多题都可以把一整个局面分成一个个互不影响的小局面

 这样的话有 \(SG(S)=SG(T_1)\ xor\ SG(T_2)[T_1+T_2=S]\)

 一般来说，\(SG\) 函数的题遵循一个套路

• 1.设暴力 \(dp\)

• 2.打表找规律

• 3.AC

 这样的题就不细讲了，写几个不寻常的

一棵树，两个人把一个点到根的路径上的点染黑，求 \(SG\) 函数

 考虑一次操作相当于把一个点到根路径上的所有点删掉

 那么如果我们处理出来了每个点子树的　\(SG\) 函数，直接做复杂度 \(O(n^2)\) 的

 考虑处理 \(p[u][v]\) 表示在 \(u\) 为根时删掉 \(v\) 之后的 \(SG\) 值

 考虑这个玩意的转移发现是赋值成某个儿子的 \(p\) 数组再异或上其他儿子的 \(SG\) 值

 所以我们需要的就是区间异或以及求 \(mex\)

 这个东西可以很容易用字典树维护出来

 赋值可以直接字典树合并

 

 先研究一下一层的状态有哪些种

 先列举一下 \(111,110,011,010,101\)

 发现 \(011,110\) 等价，\(101,010\) 等价

 考考虑 \(101,010\) 都不能继续操作了，可以看成把一个问题分成两个子问题

 所以设 \(111\) 为 \(1\)，\(011,110\) 为 \(0\)，\(0,1\) 都可以转化为分界点

 可以直接状压了

 

• 二.\(SJ\) 定理

 先考虑这样一个问题：NIM游戏规定取走最后一个石子为胜，问是否先手必胜

 这个问题称为 \(Anti-Nim\) 游戏

 先给结论

1.所有堆石子都只有 \(1\) 个且 \(SG\) 值等于 \(0\) 时先手必胜
2.至少一个堆石子数大于 \(1\) 且 \(SG\) 值不等于 \(0\) 时先手必胜

 第一条显然

 第二条分类讨论一下

• 1.\(SG\neq 0\)
   若只有一堆大于 \(1\) 显然必胜，否则显然可以控制是否变成 \(SG=0\)
• 2.\(SG=0\)
   显然至少有两堆大于 \(1\)，那么决策完之后必然至少有一堆大于 \(1\) 且 \(SG\neq 0\)

 然后我们考虑推到一般情况，称为 \(Anti-SG\) 游戏

 \(SJ\) 定理： \(Anti-SG\) 游戏先手必胜当且仅当

• 1.游戏的 SG 函数不为 0 且游戏中某个单一游戏的 SG 函数大于 1；
• 2.游戏的 SG 函数为 0 且游戏中没有单一游戏的 SG 函数大于 1

 证明太长了不写了，看论文吧

 

• 三.\(NIM\) 积

 不是很明白。。。先粘个链接

 首先定义 \(a\bigotimes b=mex((a\bigotimes y)\bigoplus(x\bigotimes b)\bigoplus(x\bigotimes y),(0\le x<a,0\le y<b))\)

 大概是在二维 \(NIM\) 问题上对两维分别做一维 \(NIM\) 再 \(NIM\) 积就可以得到二维 \(NIM\) 的答案

 这个玩意有交换律和结合律

 然后有一个神奇的东西叫做费马数

 定义 \(Fermat 2-power\) 为 \(2^{2^n}\)

 这个玩意有两个性质

• 1.对于费马数 \(x\) 和 \(a<x\)，有 \(x\bigotimes a=x\times a\)
• 2.对于费马数 \(x\)，有 \(x\bigotimes x=\frac{3}{2}x\)

 那么我们算费马数可以考虑分成几个费马数来求

 留个板子

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ll g(int x, int y) {
    if (!x || !y) return 1ll << (x | y);
    if (~ tab[x][y]) return tab[x][y];
    ll res = 1;
    Resolve(i, x ^ y) res <<= (1 << i);
    Resolve(i, x & y) res = f(res, 3ll << ((1 << i) - 1));
    return tab[x][y] = res;
}
ll f(ll x, ll y) {
    if (!x || !y) return x | y;
    if (x == 1 || y == 1) return max(x, y);    
    ll res = 0;
    Resolve(i, x) Resolve(j, y) res ^= g(i, j);
    return res;
}

 

• 二.杂题

一个 \(n\times m\) 的网格，右边界和上边界标记了胜负，两个人从左下角出发轮流移动同一枚棋子，问是否先手必胜

 结论提

 发现除了最外面的两层之外同一对角线的状态相同

 直接做就行了

 有很多变种，比如右上边界不规则，结论是一样的

 

N阶NIM

 就是有 \(k\) 堆石子，两个人轮流选至多 \(N\) 个非空堆，每个堆删去至少一个点，问是否先手必胜

 结论题，当且仅当所有 \(a_i\) 在二进制下的某一位上 \(1\) 的个数都是 \(N+1\) 的倍数时先手必胜

 

阶梯NIM

 有 \(k\) 堆石子，每次选一堆 \(i，(i>0)\)，从第 \(i\) 堆取任意多个放到 \(i-1\) 堆，问是否先手必胜

 还是结论：当且仅当所有奇数位上的 \(a_i\) 做 \(NIM\) 时先手必胜，则该游戏先手必胜

 证明挺简单的

 假如满足 \(NIM\) 先手必胜

 那么先手一定尽量进行普通 \(NIM\) 游戏

 假如后手想不进行 \(NIM\) 游戏，那么先手可以把他的操作消除

 所以奇数位 \(NIM\) 先手必胜则阶梯 \(NIM\) 先手必胜

 

翻硬币

 题目描述： N 枚硬币排成一排，有的正面朝上，有的反面朝上。我们从左开始对硬币按1 到N 编号，

   游戏者根据某些约束翻硬币，但他所翻动的硬币中，最右边那个硬币的必须是从正面翻到反面，求给定局面的 \(SG\) 值

 区间翻转显然可以按朝上来分成多个局面

 比如 \(SG(0110001)=SG(01)\ xor\ SG(001)\ xor\ SG(0000001)\)

 

砍树游戏

 给定一棵有根树，每次删掉一条边以及他的子树，不能操作的人输

 结论：\(SG(x)=(SG[son[x][1]]+1)xor(SG[son[x][k]]+1)xor...xor(SG[son[x][k]]+1)\)

 证明的话画一下转移图大概就懂了。。。吧

 ex版本，改成一张有根图

 把奇环变成 点+边+点，偶环变成点

 原先连在环上的边连在点上

 按树做就行了