生成函数

• 一.一些基础知识

 费马定理：若 \(f\) 在 \(x_0\) 某邻域有定义，且在 \(x_0\) 处可导，那么如果 \(x_0\) 为 \(f\) 极值点则 \(f(x_0)=0\)　

 罗尔中值定理：若 \(f\) 在 \([a,b]\) 连续且在 \((a,b)\) 可导且 \(f(a)=f(b)\),那么存在一个 \(x\in (a,b)\)，使得 \(f(x)=0\)

 洛必达法则：若 \(f,g\) 满足

• 1.\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)=0\)

• 2.在 \(x\)　的某空心邻域 \(U^o(x_0)\) 中 \(f，g\) 均可导且 \(g'(x)\neq 0\)

• 3.\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=A\)

 则 \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A\)

• 二.经典问题

 普通型生成函数

• 1.\(Fibonacci\) 数列的生成函数

 考虑 \(a_i=a_{i-1}+a_{i-2}\)，若 \(G(x)\) 为 \(Fibonacci\) 数列的生成函数

 那么$$\begin{aligned}A&=a_0+a_1x+a_2x^{2+...\xA&=0+a_0x+a_1x}2+...\x^2A&=0+0+a_0x2+...\end{aligned}$$

 则 \(A-xA-x^2A=1\)

 所以 \(A=\frac{1}{1-x-x^2}\)

 

• 2.\(Catlan\) 数的生成函数

 我们知道 \(c_n=\sum\limits_{i=0}^{n-1}c_ic_{n-i-1}\)，若 \(C(x)\) 为 \(Catlan\) 数列的生成函数

 则 \(C^2(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}c_{i+1}x^i\)，平移一下得到 \(xC^2(x)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}c_ix^i\)

 所以 \(C(x)=1+xC^2(x)\)，即 \(C(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\)

 泰勒展开一下可以得到 \(Catlan\) 通数项公式 \(c_i=\frac{1}{i+1}\binom{2i}{i}\)

 指数型生成函数

 排列的生成函数 \(\hat{P}(x)=\frac{1}{1-x}\)

 环排列生成函数 \(\hat{H}(x)=ln(\frac{1}{1-x})\)

 我们发现 \(\hat{P}(x)=e^{\hat{H}(x)}\)，根据环排列可以组成排列推导可发现组成关系均满足这一柿子

 错排生成函数 \(\hat{C}(x)=e^{\hat{H}(x)-x}=\frac{e^{-x}}{1-x}\)，根据在排列中减去大小为1的环排列得到

 n个点有标号无向连通图生成函数，根据n个点有标号无向图生成函数 \(\hat{W}(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}2^{\binom{i}{2}}x^i\) 得到 \(\hat{L}(x)=ln(\hat{W}(x))\)