生成函数

• 一.一些基础知识

 费马定理：若 $f$ 在 $x_0$ 某邻域有定义，且在 $x_0$ 处可导，那么如果 $x_0$ 为 $f$ 极值点则 $f(x_0)=0$　

 罗尔中值定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续且在 $(a,b)$ 可导且 $f(a)=f(b)$,那么存在一个 $x\in (a,b)$，使得 $f(x)=0$

 洛必达法则：若 $f,g$ 满足

• 1.$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)=0$

• 2.在 $x$　的某空心邻域 $U^o(x_0)$ 中 $f，g$ 均可导且 $g'(x)\neq 0$

• 3.$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=A$

 则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A$

• 二.经典问题

 普通型生成函数

• 1.$Fibonacci$ 数列的生成函数

 考虑 $a_i=a_{i-1}+a_{i-2}$，若 $G(x)$ 为 $Fibonacci$ 数列的生成函数

 那么$$\begin{aligned}A&=a_0+a_1x+a_2x^{2+...\xA&=0+a_0x+a_1x}2+...\x^2A&=0+0+a_0x2+...\end{aligned}$$

 则 $A-xA-x^2A=1$

 所以 $A=\frac{1}{1-x-x^2}$

 

• 2.$Catlan$ 数的生成函数

 我们知道 $c_n=\sum\limits_{i=0}^{n-1}c_ic_{n-i-1}$，若 $C(x)$ 为 $Catlan$ 数列的生成函数

 则 $C^2(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}c_{i+1}x^i$，平移一下得到 $xC^2(x)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}c_ix^i$

 所以 $C(x)=1+xC^2(x)$，即 $C(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$

 泰勒展开一下可以得到 $Catlan$ 通数项公式 $c_i=\frac{1}{i+1}\binom{2i}{i}$

 指数型生成函数

 排列的生成函数 $\hat{P}(x)=\frac{1}{1-x}$

 环排列生成函数 $\hat{H}(x)=ln(\frac{1}{1-x})$

 我们发现 $\hat{P}(x)=e^{\hat{H}(x)}$，根据环排列可以组成排列推导可发现组成关系均满足这一柿子

 错排生成函数 $\hat{C}(x)=e^{\hat{H}(x)-x}=\frac{e^{-x}}{1-x}$，根据在排列中减去大小为1的环排列得到

 n个点有标号无向连通图生成函数，根据n个点有标号无向图生成函数 $\hat{W}(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}2^{\binom{i}{2}}x^i$ 得到 $\hat{L}(x)=ln(\hat{W}(x))$