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置换群(等价类计数)

一.定义

- **群**

  群是啥???我不会啊

  • 置换(g)

  一个置换是一种运算,代表让物体交换位置的一种方法

  • 置换群(G)

  顾名思义,由置换构成的群

  • k不动置换类(Zk)(稳定化子)

  使元素 k 不改变位置的群的集合

  • 等价类(Ek)(轨道)

  在置换群 G 作用下元素 k 的运动轨迹(一些点的集合)

  • 循环(hg)

  在置换 g 作用下产生的循环

  • 轨道-稳定化子定理

|Ek|×|Zk|=|G|

  证明:不会

  • burnside引理

L=1|G|ci(cii)

  由轨道-稳定化子定理可知,|G|可以表示一个等价类中所有元素的 Zk 之和

  则有L×|G|=ni=1|Zi|

  而根据定义,我们有$$\sum_{i=1}n|Z_i|=\sum_{k=1}c_i$$

  则L=1|G|ci

  • polya定理

L=1|G||G|i=1mhi(m)

  只适用于对颜色没有位置限制的情况

  可以显然的发现在所有颜色平等的情况下和 burnside 引理是一样的

二.例题

  • 1.大部分置换群的题都是套着 burnside 皮的 dp,这里不加赘述

[bzoj1851]color有色图

 题意描述:一张n个节点的完全图,用m种颜色给边染色,对于点编号的交换同构,问有多少种不同的染色方案

 查姆讲的太好啦群论之神的博客

posted @   mikufun♘  阅读(1231)  评论(1编辑  收藏  举报
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