置换群(等价类计数)

一.定义

- **群**

  群是啥？？？我不会啊

• 置换($g$)

  一个置换是一种运算，代表让物体交换位置的一种方法

• 置换群($G$)

  顾名思义，由置换构成的群

• k不动置换类($Z_k$)(稳定化子)

  使元素 $k$ 不改变位置的群的集合

• 等价类($E_k$)(轨道)

  在置换群 $G$ 作用下元素 $k$ 的运动轨迹(一些点的集合)

• 循环($h_g$)

  在置换 $g$ 作用下产生的循环

• 轨道-稳定化子定理

$$|E_k|\times|Z_k|=|G|$$

  证明：不会

• burnside引理

$$L=\frac{1}{|G|}\sum c_i(c_i表示在置换i下不变的元素个数)$$

  由轨道-稳定化子定理可知，|G|可以表示一个等价类中所有元素的 $Z_k$ 之和

  则有 $$L\times|G|=\sum_{i=1}^n|Z_i|$$

  而根据定义，我们有$$\sum_{i=1}^{n|Z_i|=\sum_{k=1}}c_i$$

  则 $$L=\frac{1}{|G|}\sum c_i$$

• polya定理

$$L=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}m^{h_i}(m为颜色数)$$

  只适用于对颜色没有位置限制的情况

  可以显然的发现在所有颜色平等的情况下和 $burnside$ 引理是一样的

二.例题

• 1.大部分置换群的题都是套着 $burnside$ 皮的 $dp$,这里不加赘述

[bzoj1851]color有色图

 题意描述：一张n个节点的完全图，用m种颜色给边染色，对于点编号的交换同构，问有多少种不同的染色方案

 查姆讲的太好啦群论之神的博客