置换群(等价类计数)
一.定义
- **群**群是啥???我不会啊
- 置换(g)
一个置换是一种运算,代表让物体交换位置的一种方法
- 置换群(G)
顾名思义,由置换构成的群
- k不动置换类(Zk)(稳定化子)
使元素 k 不改变位置的群的集合
- 等价类(Ek)(轨道)
在置换群 G 作用下元素 k 的运动轨迹(一些点的集合)
- 循环(hg)
在置换 g 作用下产生的循环
- 轨道-稳定化子定理
|Ek|×|Zk|=|G|
证明:不会
- burnside引理
L=1|G|∑ci(ci表示在置换i下不变的元素个数)
由轨道-稳定化子定理可知,|G|可以表示一个等价类中所有元素的 Zk 之和
则有L×|G|=n∑i=1|Zi|
而根据定义,我们有$$\sum_{i=1}n|Z_i|=\sum_{k=1}c_i$$
则L=1|G|∑ci
- polya定理
L=1|G||G|∑i=1mhi(m为颜色数)
只适用于对颜色没有位置限制的情况
可以显然的发现在所有颜色平等的情况下和 burnside 引理是一样的
二.例题
- 1.大部分置换群的题都是套着 burnside 皮的 dp,这里不加赘述
[bzoj1851]color有色图
题意描述:一张n个节点的完全图,用m种颜色给边染色,对于点编号的交换同构,问有多少种不同的染色方案
查姆讲的太好啦群论之神的博客
只是拼凑出与你在一起的时间
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