SAM(后缀自动机)专题总结

这是一篇其实理解并不深刻只会打板子的蒟蒻写出的总结

分成几个板块吧。。。。。。

• 1.检查字符串是否出现

  给一个文本串 $T$ 和多个模式串 $P$，我们要检查字符串 $P$ 是否作为 $T$ 的一个子串出现。

\ 对 $T$ 建出 $SAM$

\ 直接在后缀树上从根开始往下走，如果能走到 $P$ 结尾说明是模板串的子串

• 2.不同子串个数

  给一个字符串 $S$，计算不同子串的个数。

\ 静态：我们知道每个子串就是后缀DAG上的一条路径

\ \ \ \ \ \ DAG上路径数怎么统计就不用说了吧

\ 动态：每次新建一个节点，贡献为$len(np)-len(f(np))$

\ \ \ \ \ \ 好像挺显然的？

  例题：生成魔咒

• 3.最小循环移位

给定一个字符串 $S$ 。找出字典序最小的循环移位

发现字符串 $S+S$ 包含字符串 $S$ 的所有循环移位作为子串。

所以问题变为在 $S+S$ 对应的后缀自动机上寻找最小的长度为 |S| 的路径

直接从初始状态开始，贪心地访问最小的字符即可。

  例题：工艺

• 4.出现次数

对于一个给定的文本串 $T$ ，有多组询问，每组询问给一个模式串 $P$ ，回答模式串 $P$ 在字符串 $T$ 中作为子串出现了多少次

我们发现用如果模式串在 $SAM$ 上跑匹配，那么最终到达的点的 $endpos$ 就是该串的出现次数

考虑 $endpos$ 的处理根据定义发现其实就是后缀树上的子树大小

所以我们把实点权值设为 $1$,虚点设为 $0$，跑拓扑就行了

 例题:$substring$(需要动态维护 $endpos$,打棵 $lct$ 呗)

• 5.字典序第 k 大子串

给定一个字符串 $S$ 。多组询问，每组询问给定一个数 K​ ，查询 $S$ 的所有子串中字典序第 K​ 大的子串。

字典序第 $K$ 大的子串对应于 $SAM$ 中字典序第 $k$ 大的路径

那么在计算每个状态的路径数后，就可以从 $SAM$ 的根开始找到第 $k$ 大的路径。

 例题：弦论

• 6.第一次出现的位置

给定一个文本串 $T$ ，多组查询。每次查询字符串 $P$ 在字符串 $T$ 中第一次出现的位置（ $P$ 的开头位置）。

预处理出每个状态第一次出现的位置$pos(i)$

其实只需要让每次$pos(np)=len(np) \ pos(nq)=pos(q)$就好了

查询答案为$pos(i)-|T|+1$

• 7.最短的没有出现的字符串

给定一个字符串 $S$ 和一个特定的字符集 $T$，我们要找一个长度最短的没有在 $S$ 中出现过的字符串

在 $SAM$ 上做 $dp$

设 $dp_i$ 表示到点 $i$ 时的最短长度

如果这个点有不是 $T$ 中字符的出边，则 $dp_i=1$,否则 $dp_i=1+\min\limits_{(i,j,c)\in SAM}dp_j$

• 8.两个字符串的最长公共子串

给定两个字符串 $S$ 和 $T$ ，求出最长公共子串。

直接把 $T$ 扔到 $S$ 的自动机上跑匹配就行了

• 9.求 $endpos$ 集合

给定一个字符串 $S$,求 $endpos$ 集合

首先我们能够求出每个节点的 $pos$

然后发现一个点的 $endpos$ 就是他子树的 $pos$ 的集合

怎么让一个点带上整个子树的某个值？ 主席树合并啊!

每个点初始在主席树上插入 $pos(i)$

然后拓扑合并就行了

  例题：你的名字