LCT总结
**I,水管局长数据加强版 **
题目描述 \ : \ 给定一张图，每次询问两点之间的最短路，有删边
其实是\(LCT\)动态维护最小生成树的板子题来着
由于蒟蒻并不会下放边权之类的神奇操作，所以来一波边化点
由于有删边而没有加边，我们把时间倒序就可以变成有删边没有加边了
**II,GERALD07加强版 **
题目描述 \ : \ 给定一些边，询问区间\([l,r]\)的联通块个数，强制在线
我们知道对于森林来说，联通块数=点数-边数
那么我们把题意转化成了询问区间\([l,r]\)的边做生成树后的边数
考虑预处理
我们可以依次扫每条边，尝试把他们加入LCT
如果边的两端不在同一棵树中显然可以直接\(link\)
现在考虑在同一棵树中
这时这条边和树上的边构成了一个简单环
那么我们是不是直接断掉环上一条边就好了呢
断哪条？显然是环上最早加入的那一条啊，这个LCT维护一下就行了
于是我们得到了如下算法：
每次尝试加入一条边
若合法，直接加入并在主席树对应的位置插入
否则，找到环上时间最早的边断掉并在主席树中相应位置减去，在加入当前边
每次询问主席树上\(R\)的树中\([L,R]\)这个区间就行了
III,魔法森林
题目描述 \ : \ 给定一张图，每条边有两个边权，求\(1\)到\(n\)的路径中\(\max(A_i)+\max(B_i)\)的最小值
其实和第一题差不多啊
先按照\(A\)排序，依次把边加入
若产生了环，把环上B最大的边删去就行了
IV,情报传递
题目描述 \ : \ 询问树上\((u,v)\)路径中小于等于某个值的数个数
这是真的挺裸的了
由于点权随着时间变化增加并不好维护，我们考虑对询问下手
我们发现这个c其实没有什么意义，直接把这个询问放到\(i-c-1\)的位置上就行了
然后就没了
V,LCA
题目描述\ : \ 给定一棵树，每次询问\(l,r,z\),输出\(\sum\limits_{i=l}^{r}dep[lca(i,z)]\)
在线不好做，考虑离线
我们知道一个点和其他点的\(lca\)一定在他到根的路径上（废话）
那么问题转化成了询问区间\([l,r]\)中的点往根走，最早遇到的\(z\)到根上路径中点的深度之和
然后我们给深度转化一下含义，\(dep_{i}\)为\(i\)到根路径上的点的个数
然后看一下lca的深度的含义
假如我们从某个点向上标记到根（如图）
然后查询另一个点时，我们发现他们lca作出的贡献就是另一个点在他到根路径上的标记数
所以我们按照点的编号一个一个标记他们根路径上的点，在每个询问的\(l-1\)和\(r\)处分别做一次查询
最后输出\(ans_r-ans_l\)就行了
VI,在美妙的数学王国中畅游
题目描述\ : \ 一棵树，树点上各有一个函数，求对于一条路径(u,v)和初值x，\sum\limits_{t\in (u,v)}f_t(x)
%%%LNC
VII,即使战略（交互题）
题目描述\ : \ 有一棵树，初始只有\(1\)号节点探索过，每次可以调用\(explore(x,y)\)，返回路径\((x,y)\)上第二个点，要求在规定次数内探索完整棵树
链的情况其实不是很难
\ 我们维护当前区间的左右端点，每次从一个端点开始探索，若得到已走过的点说明目前的目标点在区间的另一边，直接从另一端怼过去就好了
否则直接从这一端怼过去
然后考虑树的情况
\ 有一个很暴力的思路：每次直接从根走到目标点，这显然是不对的（指复杂度）
直接从根跳到叶子复杂度不对，但是有什么方法可以快速跳到叶子呢
我们考虑在\(splay\)上二分
每次调用&explore&找到已知点会有三种情况
- 1,前趋
- 2,后继
- 3,在另一棵\(splay\)上
对于前两种，直接走到当前点的左/右儿子
对于第三种，直接跳到那棵\(splay\)的根
这样期望探索次数是\(nlog\)的(虽然窝不会证)
记得把要探索的点\(random\)_\(shuffle\)一下
VIII,大森林
题目描述\ : \ 小 Y 家里有一个大森林，里面有 棵树，编号从 到 。一开始这些树都只是树苗，只有一个节点，标号为 。这些树都有一个特殊的节点，我们称之为生长节点，这些节点有生长出子节点的能力。小 Y 掌握了一种魔法，能让第 棵树到第 棵树的生长节点长出一个子节点。同时她还能修改第 棵树到第 棵树的生长节点。她告诉了你她使用魔法的记录，你能不能管理她家的森林，并且回答她的询问呢？
大神题啊。。。。。。
这种怎么看都不能直接做的题多半是要离线了
我们发现0操作对询问没有影响，也就是说可以先让所有点长出来再回答询问
而对于1操作，我们可以用到一个虚点的套路
对于每个1操作建一个虚点，以后的0操作都连在最近建好的虚点上
这样1操作就被拆成了两次断边连边
综上，
我们先把所有的虚点用LCT相连
扫所有操作，遇到断边连边就用LCT来嫁接
对于所有查询......
等等，这玩意怎么查询
因为我们建了虚点，导致split之后不能保证路径上所有点都在splay里，答案就不对了啊
那么就来一波树上差分吧用\(len(x,y)=dep_x+dep_y-2\times dep_{lca}\)
什么你说\(LCT\)怎么求\(LCA\)？(把T换成A)
先\(access(x)\)并\(splay(x)\)，这时形成了一个以根到\(x\)的路径上的点构成的\(splay\)
然后\(access(y)\)最后到达\(x\)所在\(splay\)时的那个点就是\(lca\)啦
