perlin噪声函数

  http://freespace.virgin.net/hugo.elias/models/m_perlin.htm

许多人在他们的程序中使用“随机数产生器”，以使得物体的运动行为更加自然，或者用来生成纹理。随机数产生器在一些情况下很有用，但是它们生成的结果和自然结果相比，往往显得比较粗糙和生硬。这篇文章介绍使用广泛的Perlin函数，它常用在模拟自然物体的地方，比如地形，海水等。

自然物体通常是分形的，有各种各样的层次细节，比如山的轮廓，通过高度区分就有高山(mountain,高度变化大)、山丘(hill，高度变化适中)、巨石(高度变化小) 、石头(高度变化很小)等。另外，比如草地、海浪、跑动的蚂蚁、摇晃的树枝、风、大理石的花纹等等，这些都呈现出了或大或小的细节变化。Perlin噪声函数通过噪声函数来模拟这些自然景观。

要构造一个Perlin函数，你首先需要一个噪声函数和一个插值函数。

 

1、 噪声函数

噪声函数本质上就是一个基于种子的随机数产生器。输入参数为一个整数，输出结果为基于输入参数的随机数。如果你两次输入同样的参数，则结果都是一样的。

左上图是一个噪声函数例子，它的输出值范围是[0,1]，分布范围在x轴上。右上图是通过光滑插值函数处理后的结果。

在进一步学习Perlin函数之前，我们先看一些定义，其实这些都是高中物理的概念，很简单。比如上图的正弦波，波长(Wavelength)就是两个波谷指尖的距离，频率就是1/Wavelength,波幅(Amplitude)就是波的高度。

 

2、 创建Perlin噪音函数

假如现在你有各种各样不同频率和幅度的光滑函数(smooth function)，把他们组合在一起，就能产生一个比较好的Perlin噪声函数。

          

 

 

组合在一起后的效果如下图，是不是很类似山的形状，确实很多3d程序中的地形就是利用2维的噪声函数。

 

下面我们看看单个2维光滑函数，组合在一起形成的2维噪声函数：

 

   

  

下面是各个函数组合在一起的效果：

我们现在比较关注，把这些噪声函数叠加在一起时候，如何选择他们的频率和幅度？在上面一维的例子中，后面的每个函数的频率是前面的2倍，幅度是前面1/2, 通常是这样来做，你也可以自己尝试其它的频率和幅度的组合，看看效果如何，比如对于小山丘，你可以使用大幅度低频率以及小幅度高频率，看看生成的山丘又何不同，甚至你可以用地频率低幅度生成岩石表面。

通常定义Persistence为幅度/频率，这是分形几何的发明人Mandelbrot创造的。Matt也定义Persistence的概念，而且更加直观，它的定义如下：

frequency = 2i

amplitude = persistencei

 

i表示增加的第i个噪声函数，下面的图很好的解释了这个概念：

 

Frequency

1

2

4

8

16

32

Persistence = 1/4

+

+

+

+

+

=

Amplitude:

1

1/4

1/16

1/64

1/256

1/1024

result

Persistence = 1/2

+

+

+

+

+

=

Amplitude:

1

1/2

1/4

1/8

1/16

1/32

result

Persistence = 1 / root2

+

+

+

+

+

=

Amplitude:

1

1/1.414

1/2

1/2.828

1/4

1/5.656

result

Persistence = 1

+

+

+

+

+

=

Amplitude:

1

1

1

1

1

1

result

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Octaves(倍频函数):

我们增加的函数称作octave函数.，主要是因为后面的每个函数都是前面函数频率的2倍。增加octave函数的数量取决于你。这儿我给的建议是：如果你用Perlin函数渲染图形图像，记住太高的频率可能不能显示，因为屏幕像素已经不能表示这些细节。一些Perlin噪音函数的实现可以根据屏幕限制，自动调节octave函数的数量。另外，当幅度太小时，也要停止增加octave函数。

 

下面我们看一个简单的噪音函数（一个随机数产生器）的代码，它返回浮点数[-1,1]

function IntNoise(32-bit integer: x)                  
 
    x = (x<<13) ^ x;
    return ( 1.0 - ( (x * (x * x * 15731 + 789221) + 1376312589) & 7fffffff) / 1073741824.0);    
 
 end IntNoise function
如果我们需要几个不同的随机数产生器的时候，可以选用稍微有点差别的种子（一般为素数）。

下面看看插值函数，最简单的插值函数是线性插值函数：其中x是[0,1]，可以看到，线性插值生成的曲线都是分段的直线。

function Linear_Interpolate(a, b, x)
        return a*(1-x) + b*x
 end of function
 

 

Cosine插值函数：

相对来讲，它插值的结果比较光滑。

 
function Cosine_Interpolate(a, b, x)
        ft = x * 3.1415927
        f = (1 - cos(ft)) * .5
 
        return a*(1-f) + b*f
 end of function
Cubic插值：

三次插值产生的曲线很光滑，但是要以牺牲速度为代价。该函数接收5个参数，四个顶点数据，一个x值，

v0 = the point before a

v1 = the point a

v2 = the point b

v3 = the point after b

 

 

 

function Cubic_Interpolate(v0, v1, v2, v3,x)
        P = (v3 - v2) - (v0 - v1)
        Q = (v0 - v1) - P
        R = v2 - v0
        S = v1
 
        return Px3 + Qx2 + Rx + S
 end of function
对噪音结果可以通过mean值滤波的方式来处理，处理后的结果会更光滑：

 

 

1维的光滑函数：

function Noise(x)
    .
    .
 end function
 
 function SmoothNoise_1D(x)
 
    return Noise(x)/2 + Noise(x-1)/4 + Noise(x+1)/4
 
 end function
2维的光滑函数：

 function Noise(x, y)
    .
    .
 end function
 
 function SmoothNoise_2D(x>, y)
    
    corners = ( Noise(x-1, y-1)+Noise(x+1, y-1)+Noise(x-1, y+1)+Noise(x+1, y+1) ) / 16
    sides   = ( Noise(x-1, y) +Noise(x+1, y) +Noise(x, y-1) +Noise(x, y+1) ) / 8
    center = Noise(x, y) / 4
 
    return corners + sides + center
 
 
 end function

3、 最终的Perlin噪声函数

Perlin噪声函数主要是通过一个循环，每个循环迭代增加一个2倍频率的octave函数，每次迭代调用不同的噪声函数Noise_.

 1维Perlin函数的伪代码：

 

function Noise1(integer x)
    x = (x<<13) ^ x;
    return ( 1.0 - ( (x * (x * x * 15731 + 789221) + 1376312589) & 7fffffff) / 1073741824.0);    
  end function


  function SmoothedNoise_1(float x)
    return Noise(x)/2  +  Noise(x-1)/4  +  Noise(x+1)/4
  end function


  function InterpolatedNoise_1(float x)

      integer_X    = int(x)
      fractional_X = x - integer_X

      v1 = SmoothedNoise1(integer_X)
      v2 = SmoothedNoise1(integer_X + 1)

      return Interpolate(v1 , v2 , fractional_X)

  end function


  function PerlinNoise_1D(float x)

      total = 0
      p = persistence
      n = Number_Of_Octaves - 1

      loop i from 0 to n

          frequency = 2i
          amplitude = pi

          total = total + InterpolatedNoisei(x * frequency) * amplitude

      end of i loop

      return total

  end function

 

 2维的Perlin函数代码：

 

function Noise1(integer x, integer y)
    n = x + y * 57
    n = (n<<13) ^ n;
    return ( 1.0 - ( (n * (n * n * 15731 + 789221) + 1376312589) & 7fffffff) / 1073741824.0);    
  end function

  function SmoothNoise_1(float x, float y)
    corners = ( Noise(x-1, y-1)+Noise(x+1, y-1)+Noise(x-1, y+1)+Noise(x+1, y+1) ) / 16
    sides   = ( Noise(x-1, y)  +Noise(x+1, y)  +Noise(x, y-1)  +Noise(x, y+1) ) /  8
    center  =  Noise(x, y) / 4
    return corners + sides + center
  end function

  function InterpolatedNoise_1(float x, float y)

      integer_X    = int(x)
      fractional_X = x - integer_X

      integer_Y    = int(y)
      fractional_Y = y - integer_Y

      v1 = SmoothedNoise1(integer_X,     integer_Y)
      v2 = SmoothedNoise1(integer_X + 1, integer_Y)
      v3 = SmoothedNoise1(integer_X,     integer_Y + 1)
      v4 = SmoothedNoise1(integer_X + 1, integer_Y + 1)

      i1 = Interpolate(v1 , v2 , fractional_X)
      i2 = Interpolate(v3 , v4 , fractional_X)

      return Interpolate(i1 , i2 , fractional_Y)

  end function


  function PerlinNoise_2D(float x, float y)

      total = 0
      p = persistence
      n = Number_Of_Octaves - 1

      loop i from 0 to n

          frequency = 2i
          amplitude = pi

          total = total + InterpolatedNoisei(x * frequency, y * frequency) * amplitude

      end of i loop

      return total

  end function