生成学习算法(Generative Learning algorithms)

一、引言

前面我们谈论到的算法都是在给定 $x$ 的情况下直接对 $p(y|x;\theta)$ 进行建模。例如，逻辑回归利用 $h_\theta(x)=g(\theta^T x)$ 对 $p(y|x;\theta)$ 建模，这类算法称作判别学习算法。

考虑这样一个分类问题，我们根据一些特征来区别动物是大象 $(y=1)$ 还是狗 $(y=0)$ 。给定了这样一个训练集，逻辑回归或感知算法要做的就是去找到一个决策边界，将大象和狗的样本分开来。可以换个思路，首先根据大象的特征来学习出一个大象的模型，然后根据狗的特征学习出狗的模型，对于一个新的样本，提取它的特征先放到大象的模型中求得是大象的概率，然后放到狗的模型中求得是狗的概率，最后我们比较两个概率哪个大，即确定这个动物是哪种类型。也即求 $p(y|x)=\frac{p(x|y)p(y)}{p(x)}$ ， $y$ 为输出结果， $x$ 为特征。

现在我们来定义这两种解决问题的方法：

判别学习算法（discriminative learning algorithm）：直接学习 $p(y|x)$ 或者是从输入直接映射到输出的方法

生成学习算法（generative learning algorithm）：对 $p(x|y)$ (也包括 $p(y))$ 进行建模。

$y$ 为输出变量，值为0或1，如果是大象取1，狗则取0

$p(x|y = 0)$ ：对狗的特征进行建模

$p(x|y = 1)$ ：对大象的特征建模

对 $p(x|y)$ 和 $p(y)$ 完成建模后，运用贝叶斯公式，就可以求得在给定 $x$ 的情况下 $y$ 的概率：

$p(y|x)=\frac{p(x|y)p(y)}{p(x)}$

$p(x) = p(x|y = 1)p(y = 1) + p(x|y =0)p(y = 0)$

由于我们关心的是 $y$ 离散结果中哪一个的概率更大，而不是要求得具体的概率，所以上面的公式我们可以表达为：

$\begin{align*} arg\,\underset{y}{max}p(y|x) &=arg\,\underset{y}{max}\frac{p(x|y)p(y)}{p(x)} \\ &=arg\,\underset{y}{max}p(x|y)p(y) \end{align*}$

$arg\,\underset{y}{max}p(y|x)$ 的含义：满足条件的最大 $y$ 值。对 $y$ 求取最大值，与 $p(x)$ 无关，所以可以不需要计算 $p(x)$ 了

常见的生成模型有：隐马尔可夫模型HMM、朴素贝叶斯模型、高斯混合模型GMM、LDA等

二、高斯判别分析(Gaussian Discriminant Analysis)

下面介绍第一个生成学习算法GDA。在GDA中，假设 $x \in R^n$ 且是连续的，且 $p(x|y)$ 满足多项正态分布。

2.1 多项正态分布(The multivariate normal distribution)

假设随机变量 $X$ 满足 $n$ 维的多项正态分布，参数为均值向量 $\mu\in R^n$ ，协方差矩阵 $\Sigma \in R^{n\times n}$ ，记为 $N(\mu,\Sigma)$ 其概率密度表示为：

$p(x;\mu,\Sigma)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}(det\Sigma)^\frac{1}{2}}exp\bigg(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\bigg)$

$det\Sigma$ 表示矩阵 $\Sigma$ 的行列式(determinant)。

均值向量： $\mu$

协方差矩阵: $\Sigma=E[(X-E[X])(X-E[X])^T]=E[(x-\mu)(x-\mu)^T]$

接下来我们用matlab来画一下二维正态分布的图像，我们可以调整均值和协方差矩阵来观察图像。

代码：

mu=[0 0];
sigma=[1.0 0;0 1.0];
[x y]=meshgrid(linspace(-3,3,40)',linspace(-3,3,40)');
X=[x(:) y(:)];
z=mvnpdf(X,mu,sigma);
surf(x,y,reshape(z,40,40));
hold on;
figure;
contour(x,y,reshape(z,40,40));

$\mu$ 决定中心位置， $\Sigma$ 决定投影椭圆的朝向和大小。

2.2高斯判别分析模型(The Gaussian Discriminant Analysis model)

现在有一个分类问题，训练集的特征值 $x$ 是随机连续值，那么我们可以利用高斯判别分析模型，假设 $p(x|y)$ 满足多值正态分布，即：

$y \sim Bernoulli(\phi)$

$x|y=0 \sim N(\mu_0, \Sigma)$

$x|y=1 \sim N(\mu_1, \Sigma)$

概率分布为：

$p(y) = \phi^y(1-\phi)^{1-y}$

$p(x|y=0) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}(det\Sigma)^\frac{1}{2}}exp\bigg(-\frac{1}{2}(x-\mu_0)^T\Sigma^{-1}(x-\mu_0)\bigg)$

$p(x|y=1) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}(det\Sigma)^\frac{1}{2}}exp\bigg(-\frac{1}{2}(x-\mu_1)^T\Sigma^{-1}(x-\mu_1)\bigg)$

模型参数为 $\phi, \Sigma, \mu_0, \mu_1$ ，对数似然函数为：

$l(\phi,\mu_0,\mu_1,\Sigma)=log\prod_{i=1}^{m}p(x^{(i)},y^{(i)};\phi,\mu_0,\mu_1,\Sigma)=log\prod_{i=1}^{m}p(x^{(i)}|y^{(i)};\mu_0,\mu_1,\Sigma)p(y^{(i)};\phi)$

注意这里的参数有两个 $\mu$ ，表示在不同的结果模型下，特征均值不同，但我们假设协方差相同。反映在图上就是不同模型中心位置不同，但形状相同。这样就可以用直线来进行分隔判别。

求得所有的参数：

$\phi = \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=1\}$

$\mu_0=\frac{\sum\limits_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=0\}x^{(i)}}{\sum\limits_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=0\}}$

$\mu_1=\frac{\sum\limits_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=1\}x^{(i)}}{\sum\limits_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=1\}}$

$\Sigma = \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}(x^{(i)}-\mu_{y{(i)}})(x^{(i)}-\mu_{y{(i)}})^T$

$\phi$ 是训练样本中结果 $y=1$ 占有的比例。
$\mu_0$ 是 $y=0$ 的样本中特征均值。
$\mu_1$ 是 $y=1$ 的样本中特征均值。
$\Sigma$ 是样本特征方差均值。

所以通过上面所述，画出图像如下图：

直线两边的 $y$ 值不同，但协方差矩阵相同，因此形状相同, $\mu$ 不同，因此位置不同。

2.3讨论GDA和逻辑回归(Discussion: GDA and logistic regression)

现在我们把 $p(y = 1|x; \phi, \mu_0, \mu_1, \Sigma)$ 看成是 $x$ 的函数，则可以表达为：

$p(y=1|x;\phi,\Sigma,\mu_0,\mu_1)=\frac{1}{1+exp(-\theta^Tx)}$

$\theta$ 是参数 $\phi,\Sigma,\mu_0,\mu_1$ 的函数，这正是逻辑回归的形式。

逻辑回归和GDA在训练相同的数据集的时候我们得到两种不同的决策边界，那么怎么样来进行选择模型呢：

上面提到如果 $p(x|y)$ 是一个多维的高斯分布，那么 $p(y|x)$ 可以推出一个logistic函数；反之则不一定正确， $p(y|x)$ 是一个logistic函数并不能推出 $p(x|y)$ 服从高斯分布.这说明GDA比logistic回归做了更强的模型假设.

如果 $p(x|y)$ 真的服从或者趋近于服从高斯分布，则GDA比logistic回归效率高.

当训练样本很大时，严格意义上来说并没有比GDA更好的算法（不管预测的多么精确）.

事实证明即使样本数量很小，GDA相对logisic都是一个更好的算法.

但是，logistic回归做了更弱的假设，相对于不正确的模型假设，具有更好的鲁棒性（robust）.许多不同的假设能够推出logistic函数的形式. 比如说，如果 $x|y=0 \sim Poisson(\lambda_0)$ , $x|y=1 \sim Poisson(\lambda_1)$ 那么 $p(y|x)$ 是logistic。

logstic回归在这种类型的Poisson数据中性能很好. 但是如果我们使用GDA模型，把高斯分布应用于并不是高斯数据中，结果是不好预测的，GDA就不是很好了.

三：朴素贝叶斯(Naive Bayes)

在GDA中，特征向量 $x$ 是连续的实数向量，那么现在谈论一下当 $x$ 是离散时的情况。

我们沿用对垃圾邮件进行分类的例子，我们要区分邮件是不是垃圾邮件。分类邮件是文本分类的一种应用

将一封邮件作为输入特征向量，与现有的字典进行比较，如果在字典中第i个词在邮件中出现，则 $x_i=1$ ，否则$x_i=0$，所以现在我们假设输入特征向量如下：

选定特征向量后，现在要对 $p(x|y)$ 进行建模：

假设字典中有50000个词， $x \in \{0, 1\}^{50000}$ 如果采用多项式建模，将会有 $2^{50000}$ 种结果， $2^{50000}-1$ 维的参数向量，这样明显参数过多。所以为了对 $p(x|y)$ 建模，需要做一个强假设，假设 $x$ 的特征是条件独立的，这个假设称为朴素贝叶斯假设(Naive Bayes (NB) assumption),这个算法就称为朴素贝叶斯分类(Naive Bayes classifier).

解释：
如果有一封垃圾邮件 $(y=1)$ ,在邮件中出现buy这个词在2087这个位置,它对39831这个位置是否出现price这个词没有影响，也就是，我们可以这样表达 $p(x_{2087}|y)=p(x_{2087}|y,x_{39831})$ ,这个和 $x_{2087}$ 和 $x_{39831}$ 相互独立不同，如果相互独立，则可以写为 $p(x_{2087})=p(x_{2087}|x_{39831})$ ，我们这里假设的是在给定y的情下， $x_{2087}$ 和 $x_{39831}$ 独立。