常见的概率分布
离散分布
0-1分布(伯努利分布)
它的分布律为：
\[P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k}, k=0,1, (0<p<1)\]
0-1分布记作：\(X \sim b(1,p)\)
期望：\(E(X)=p\)
方差:\(D(X)=p(1-p)\)
常用的场景：新生婴儿性别的登记，招生考试的录取，产品的是否合格，硬币的正反面。
二项分布
二项分布为\(n\)重伯努利实验的概率分布。
分布律为：
\[P\{X=k\}=\begin{pmatrix}
n\\
k
\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,...,n,(0<p<1)\]
\[\sum\limits_{k=0}^{n}P\{X=k\}=\sum\limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}
n\\
k
\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}=(p+1-p)^n=1\]
二项分布记作：\( X \sim b(n,p)\)
期望：\(E(X)=np\)
方差:\(D(X)=np(1-p)\)
常用的场景：比如一个人射击\(n\)次，其中\(k\)次命中的概率，抽查50台设备，其中10台出故障的概率等等。
从下面的图中，我们可以看到命中次数先增加，到了3达到最大，之后又逐渐减少，一般来说，对于固定的\(n,p\)，都具有这一性质。
（1）当\(（n+1）p\)不为整数时，二项概率\(P\{X=k\}\)在\(k=[(n+1)p]\)时达到最大值；
（2）当\(（n+1）p\)为整数时，二项概率\(P\{X=k\}\)在\(k=(n+1)p,k=(n+1)p-1\)时达到最大值。
%每轮射击10次，命中概率0.3，射击10000轮，x中返回的是每轮中命中的次数 x=binornd(10,0.3,10000,1); %bin的数目为10 hist(x,10);
N=100; p=0.4; k=0:N; %事件发生k次的概率 pdf=binopdf(k,N,p); %事件发生不大于k次的概率 cdf=binocdf(k,N,p); plotyy(k,pdf,k,cdf); grid on;
多项分布
多项式分布是二项式分布的扩展，在多项式分布所代表的实验中，一次实验会有多个互斥结果，而二项式分布所代表的实验中，一次实验只有两个互斥结果。
把二项扩展为多项就得到了多项分布。比如扔骰子，不同于扔硬币，骰子有6个面对应6个不同的点数，这样单次每个点数朝上的概率都是1/6（对应p1~p6，它们的值不一定都是1/6，只要和为1且互斥即可，比如一个形状不规则的骰子），重复扔n次，如果问有x次都是点数6朝上的概率就是：
\[C_n^xp^x(1-p)^{n-x}\]
更一般性的问题会问：点数1~6的出现次数分别为(x1,x2,x3,x4,x5,x6)时的概率是多少？其中sum(x1~x6）= n。这就是一个多项式分布问题。这时只需用上边公式思想累乘约减就会得到下面的概率公式
某随机实验如果有\(k\)个可能结局\(A_1,A_2,…,A_k\)，分别将他们的出现次数记为随机变量\(X_1,X_2,…,X_k\)，它们的概率分布分别是\(p_1,p_2,…,p_k\)，那么在\(n\)次采样的总结果中，\(A_1\)出现\(n_1\)次、\(A_2\)出现\(n_2\)次、…、\(A_k\)出现\(n_k\)次的这种事件的出现概率P有下面公式：
\[P(X_1=n_1,...,X_k=n_k)=\left\{\begin{matrix}\frac{n!}{n_1!...n_k!}p_1^{n_1}...p_k^{n_k}, \sum\limits_{i=1}^kn_i=n\\ 0, others\end{matrix}\right.\]
用另一种形式写为：
\[P(X_1=n_1,...,X_k=n_k)=\left\{\begin{matrix} n!\prod\limits_{i=1}^k\frac{p_i^{n_i}}{n_i!}, \sum\limits_{i=1}^kn_i=n\\ 0, others\end{matrix}\right.\]
其中\(\sum\limits_{i=1}^{k}p_i=1\) 。
期望: 设r维随机变量\((x_1,x_2,⋯,x_r)\)服从多项分布，则数学期望是
\[E(x_1,x_2,⋯,x_n)=(np_1,np_2,⋯,np_r)\]
方差：\(Var(x_i)=np_i(1−p_i)，i=1,2,⋯,r\)
泊松分布
概率分布为：
\[P\{X=k\}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,...,\lambda>0\]
泊松分布记作：\(X \sim \pi(\lambda)\)
\[\sum\limits_{k=0}^{\infty}P\{X=k\}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda}e^\lambda=1,k=0,1,2,...,\lambda>0\]
期望：\(E(X)=\lambda\)
方差:\(D(X)=\lambda\)
常用场景：一天内网站的访问量，某段时间内发生的交通事故等等。泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。
对于二项分布，如果\(np_n=\lambda\).可以用泊松分布来近似二项分布。
下面的代码画出泊松分布的概率密度图和分布图。
x=0:1:20; %lambda=5,泊松概率密度 y=poisspdf(x,5); plot(x,y); %lambda=5,泊松概率分布 y1=poisscdf(x,5); figure; plot(x,y1);
负二项分布(帕斯卡分布)
进行重复试验时，直到某个事件出现了\(r\)次时停止试验，此时试验进行次数\(X\)服从负二项分布，为二项分布的变体，注意到最后一次一定是成功的，所以是\(C_{k-1}^{r-1}\)而不是\(C_k^r\)
概率分布为：
\[P\{X=k\}=C_{k-1}^{r-1}p^r(1-p)^{k-r},k=r+1,r+2,...,n,(0<p<1)\]
负二项分布记作：\( X \sim b_0(r,p)\)
期望：\(E(X)=\frac{r}{p}\)
方差:\(D(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}\)
常用的场景： 比如抽查20台设备，如果出现3次失败就停止抽查，全面停工。
几何分布
负二项分布中，r=1时的特殊情况，即第1次试验成功时，试验进行的次数X的分布。
概率分布为：
\[P\{X=k\}=p(1-p)^k,k=0,1,...,n,(0<p<1)\]
负二项分布记作：\( X \sim b_0(r,p)\)
期望：\(E(X)=\frac{1}{p}\)
方差:\(D(X)=\frac{(1-p)}{p^2}\)
常用的场景： 比如抽查20台设备，如果设备故障，立即停工检修。
超几何分布
to do
单点分布(退化分布)
随机变量取a时，概率为1。
记作： \(b_0(a,1)\)
单点分布记作：\(p(x=a)=1\)
期望：a
方差：0
连续分布
均匀分布
随机变量的概率密度在[a,b]区间上为常数\(\frac{1}{b-a}\)，则此随机变量服从均匀分布，意为在某个区间内各取值是等可能的，概率的大小只与长度有关。
均匀分布概率密度函数：
\[f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{b-a}, a<x<b\\
0, others
\end{matrix}\right.\]
均匀分布分布函数：
\[F(x)=\left\{\begin{matrix} 0, x<a\\
\frac{x-a}{b-a}, a \leq x<b\\
1, x \geq b
\end{matrix}\right.\]
均匀分布记作: \( U(a,b)\)
期望:\(E(X)=\frac{(a+b)}{2}\)
方差：\(D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}\)
正态分布(高斯分布)
http://www.cnblogs.com/mikewolf2002/p/7669977.html
指数分布
为伽玛分布的特殊形式，即当\(\alpha=1\)时的伽玛分布。
均匀分布概率密度函数：
\[f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}, x>0\\
0, others
\end{matrix}\right.\]
均匀分布分布函数：
\[F(x)=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-x/\theta}, x>0\\
0, others
\end{matrix}\right.\]
均匀分布记作: \(\Gamma(a,b)\)
期望:\(E(X)=\theta\)
方差：\(D(X)=\theta^2\)
指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当\(s,t>0\)时有\(P(T>t+s|T>t)=P(T>s)\)。即，如果\(T\)是某一元件的寿命，已知元件使用了\(t\)小时，它总共使用至少\(s+t\)小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少\(s\)小时的概率相等。
用下面的代码，我们可以画出指数分布的概率密度函数和分布函数图：
x=0:0.1:5; plot(x,[gampdf(x,1,0.3);gampdf(x,1,1);gampdf(x,1,2)]); legend('theta=0.3','theta=1','theta=2'); grid on; figure; plot(x,[gamcdf(x,1,0.3);gamcdf(x,1,1);gamcdf(x,1,2)]); legend('theta=0.3','theta=1','theta=2'); grid on;
\(\Gamma 分布\)(伽马分布)
http://www.cnblogs.com/mikewolf2002/p/7664944.html
\(\chi^2\)分布(卡方分布)
http://www.cnblogs.com/mikewolf2002/p/7664944.html
t分布(学生氏分布)
to do
非中心t分布
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F分布
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非中心F分布
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对数正态分布
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逆高斯分布
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非中心\(\chi^2\)分布
to do
韦布尔分布
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拉普拉斯分布
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瑞利分布
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帕雷托分布
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极值分布
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逻辑斯谛分布
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B分布(贝塔分布)
to do
柯西分布
to do
