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gamma函数及相关其分布

神奇的gamma函数(上)

神奇的gamma函数(下)

gamma函数的定义及重要性质

Γ(x)=0tx1etdt

Γ(x+1)=xΓ(x)


Γ(n)=(n1)!

Γ(0)=1

Γ(12)=2+0eu2du=π

gamma函数的图像

在matlib中,我们可以方便的用下面的代码画出gamma函数的图像。

x = -10:0.001:10;
plot(x,gamma(x));
axis([-10.1,10.1,-4,4]);

image

随机变量Y=X2的概率密度

假设随机变量X具有概率密度fX(x),<x<,求Y=X2的概率密度。

FY(y)=P(Yy)=P(X2y)=P(yxy)=FX(y)FX(y)

fY(y)={12y[fX(y)+fX(y],y>0,0,y0

XN(0,1),其概率密度为φ(x)=12πex22,<x<,则Y=X2的概率密度如下:

fY(y)={12πy1/2ey/2,y>0,0,y0

Gamma分布

XΓ(α,θ)

fX(x)={1θαΓ(α)xα1ex/θ,x>0,α>0,θ>00,x0,α>0,θ>0

α=1,θ=λΓ(1,λ) 就是参数为λ的指数分布,记为exp(λ)

α=n/2,θ=2Γ(n/2,1/2)就是数理统计中常用的χ2(n) 分布。

数学期望(均值)、方差分别为

E(X)=αθ

D(x)=αθ2

Gamma分布是指在地震序列的有序性、地震发生率的齐次性、计数特征具有独立增量和平稳增量情况下,可以导出地震发生i次时间的概率密度为Gamma密度函数。

gamma分布的一个重要应用就是作为共轭分布出现在很多机器学习算法中。

gamma的密度函数和分布函数图像如下:

注意:这儿α=1.5,θ=1/0.6β=0.6,因为gamma函数有两种表达方式,一种用θ,一种用β,它们的关系是θ=1β

x=0:0.1:5;
figure;
plot(x,[gampdf(x,1.5,0.6);gamcdf(x,1.5,0.6)])

image


Gamma分布的可加性

XΓ(α,θ),YΓ(β,θ),X,Y的概率密度如下:

fX(x)={1θαΓ(α)xα1ex/θ,x>0,α>0,θ>00,x0,α>0,θ>0

fY(y)={1θβΓ(β)yβ1ey/θ,y>0,β>0,θ>00,y0,β>0,θ>0

则有Z=X+Y的分布为:X+YΓ(α+β,θ)

χ2(卡方)分布及其性质

X1,X2,,Xn是来自总体N(0,1)的样本,则称统计量

χ2=X21+X22++X2n

为服从自由度为nχ2分布,记为χ2χ2(n)

它的概率密度函数为:

f(x,n)={12n/2Γ(n/2)xn/21ex/2,x>00,x0,

用下面的matlib代码,我们能够画出卡方分布概率密度函数图:

复制代码
%卡方分布
x=0.0:0.01:30;
y=chi2pdf(x,1);
y1=chi2pdf(x,2);
y2=chi2pdf(x,4);
y3=chi2pdf(x,6);
y4=chi2pdf(x,11);
plot(x,y,'-r',x,y1,'-g',x,y2,'-b',x,y3,'-c',x,y4,'-m');
legend('自由度1','自由度2','自由度4','自由度6','自由度11');
axis([0,30,0,0.2]);
View Code
复制代码

image

由上面的式子可以知道:

χ2=ni=1X2iΓ(n2,2)

1)若 Xχ(n),则E(X)=n,D(X)=2n

2)若Xχ(n1), Yχ(n2),且X,Y相互对立,则有X+Yχ2(n1+n2)

posted on   迈克老狼2012  阅读(4324)  评论(0编辑  收藏  举报

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