gamma函数及相关其分布
gamma函数的定义及重要性质
Γ(x)=∫∞0tx−1e−tdt
Γ(x+1)=xΓ(x)
Γ(n)=(n−1)!
Γ(0)=1
Γ(12)=2∫+∞0e−u2du=√π
gamma函数的图像
在matlib中,我们可以方便的用下面的代码画出gamma函数的图像。
x = -10:0.001:10;
plot(x,gamma(x));
axis([-10.1,10.1,-4,4]);
随机变量Y=X2的概率密度
假设随机变量X具有概率密度fX(x),−∞<x<∞,求Y=X2的概率密度。
FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)=P(−√y≤x≤√y)=FX(√y)−FX(−√y)
fY(y)={12√y[fX(√y)+fX(√−y],y>0,0,y≤0
设X∼N(0,1),其概率密度为φ(x)=1√2πe−x22,−∞<x<∞,则Y=X2的概率密度如下:
fY(y)={1√2πy−1/2e−y/2,y>0,0,y≤0
Gamma分布
X∼Γ(α,θ)
fX(x)={1θαΓ(α)xα−1e−x/θ,x>0,α>0,θ>00,x≤0,α>0,θ>0当α=1,θ=λ时,Γ(1,λ) 就是参数为λ的指数分布,记为exp(λ) ;
当α=n/2,θ=2时,Γ(n/2,1/2)就是数理统计中常用的χ2(n) 分布。
数学期望(均值)、方差分别为
E(X)=αθ
D(x)=αθ2
Gamma分布是指在地震序列的有序性、地震发生率的齐次性、计数特征具有独立增量和平稳增量情况下,可以导出地震发生i次时间的概率密度为Gamma密度函数。
gamma分布的一个重要应用就是作为共轭分布出现在很多机器学习算法中。
gamma的密度函数和分布函数图像如下:
注意:这儿α=1.5,θ=1/0.6或者β=0.6,因为gamma函数有两种表达方式,一种用θ,一种用β,它们的关系是θ=1β
x=0:0.1:5; figure; plot(x,[gampdf(x,1.5,0.6);gamcdf(x,1.5,0.6)])
Gamma分布的可加性
设X∼Γ(α,θ),Y∼Γ(β,θ),X,Y的概率密度如下:
fX(x)={1θαΓ(α)xα−1e−x/θ,x>0,α>0,θ>00,x≤0,α>0,θ>0
fY(y)={1θβΓ(β)yβ−1e−y/θ,y>0,β>0,θ>00,y≤0,β>0,θ>0
则有Z=X+Y的分布为:X+Y∼Γ(α+β,θ)
χ2(卡方)分布及其性质
设X1,X2,…,Xn是来自总体N(0,1)的样本,则称统计量
χ2=X21+X22+…+X2n
为服从自由度为n的χ2分布,记为χ2∼χ2(n)
它的概率密度函数为:
f(x,n)={12n/2Γ(n/2)xn/2−1e−x/2,x>00,x≤0,
用下面的matlib代码,我们能够画出卡方分布概率密度函数图:
%卡方分布 x=0.0:0.01:30; y=chi2pdf(x,1); y1=chi2pdf(x,2); y2=chi2pdf(x,4); y3=chi2pdf(x,6); y4=chi2pdf(x,11); plot(x,y,'-r',x,y1,'-g',x,y2,'-b',x,y3,'-c',x,y4,'-m'); legend('自由度1','自由度2','自由度4','自由度6','自由度11'); axis([0,30,0,0.2]);
由上面的式子可以知道:
χ2=n∑i=1X2i∼Γ(n2,2)
1)若 X∼χ(n),则E(X)=n,D(X)=2n
2)若X∼χ(n1), Y∼χ(n2),且X,Y相互对立,则有X+Y∼χ2(n1+n2)
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