损失函数的概率验证及性质

从http://www.cnblogs.com/mikewolf2002/p/7560748.html这篇文章中，我们知道损失函数为下面的形式：

$$J(\theta_0, \theta_1..., \theta_n) = \frac{1}{2m}\sum\limits_{i=0}^{m}(h_\theta(x_0^{(i)}, x_1^{(i)}, ...,x_n^{(i)})- y^{(i)})^2$$

或者

$$J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})$$

     为什么选这个函数为损失函数呢？也就是说为什么选择最小二乘作为指标来计算回归方程参数？这个可以用概率论的方法进行证明。

     首先我们提供一组假设，依据这些假设，来证明选择最小二乘是合理的。

（1） 假设1：

     假设输入与输出为线性函数关系，表示为：$y^{(i)}=\theta^Tx^{(i)}+\epsilon^{(i)}$

     其中$\epsilon^{(i)}$为误差项，这个参数可以理解为对未建模效应的捕获，如果还有其他特征，这个误差项表示了一种我们没有捕获的特征，或者看成一种随机的噪声。

     假设$\epsilon^{(i)}$服从高斯分布（正态分布）$\epsilon^{(i)} \sim N(0,\sigma^2)$，表示一个均值是0，方差是$\sigma^2$的高斯分布,且每个误差项彼此之间是独立的，并且他们服从均值和方差相同的高斯分布(IID independently and identically distributed,独立同分布)。

那么高斯分布的概率密度函数：

$$p(\epsilon^{(i)})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\big(-\frac{(\epsilon^{(i)})^2}{2\sigma^2}\big)$$

根据上述两式可得：

$$p(y^{(i)}|x^{(i)};\theta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\big(-\frac{(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2}{2\sigma^2}\big)$$

     注意： $\theta$并不是一个随机变量，而是一个尝试估计的值，就是说它本身是一个常量，只不过我们不知道它的值，所以上式中用分号表示。分号应读作“以…作为参数”，上式读作“给定$x^{(i)}$以$\theta$为参数的$y^{(i)}$的概率服从高斯分布”。

     即在给定了特征与参数之后，输出是一个服从高斯分布的随机变量,可描述为：$y^{(i)}|x^{(i)};\theta \sim N(\theta^Tx^{(i)},\sigma^2)$，

为什么选取高斯分布？

1) 便于数学处理。

2) 对绝大多数问题，如果使用了线性回归模型，然后测量误差分布，通常会发现误差是高斯分布的。

3) 中心极限定律：若干独立的随机变量之和趋向于服从高斯分布。若误差有多个因素导致，这些因素造成的效应的总和接近服从高斯分布。

（2） 假设2：

      给定$X$（特征矩阵，包含所有的$x^{(i)}$)和$\theta$,如何描述$y^{(i)}$的概率呢？首先我们可以把$y^{(i)}$的概率写成$p(\overrightarrow{y}|X;\theta)$。这个概率可以把$\theta$看成为固定值，$\overrightarrow{y}$或$X$的函数。我们称这个函数为$\theta$的似然函数。

$$L(\theta)=L(\theta;X,\overrightarrow{y})=p(\overrightarrow{y}|X;\theta)$$

由于$\epsilon^{(i)}$是独立同分布，所以给定$x^{(i)}$情况下$y^{(i)}$也是独立同分布，则上式可写成所有分布的乘积：

$$\begin{align*} L(\theta) &=\prod_{i=1}^{m}p(y^{(i)}|x^{(i)};\theta) \\ &=\prod_{i=1}^{m}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\big(-\frac{(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2}{2\sigma^2}\big) \end{align*}$$

（3） 假设3：

极大似然估计：选取$\theta$使似然性$L(\theta)$最大化（数据出现的可能性尽可能大）

定义$L(\theta)$对数似然函数为 ：

$$\begin{align*}l(\theta) &= logL(\theta) \\ &=log\prod_{i=1}^{m}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\big(-\frac{(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2}{2\sigma^2}\big) \\ &=\sum\limits_{i=1}^{m}log\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\big(-\frac{(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2}{2\sigma^2}\big) \\ &=mlog\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}-\frac{1}{\sigma^2}*\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^m(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2\end{align*}$$

上式两个加项，前一项为常数。所以，使似然函数最大，就是使后一项最小，即：$\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^m(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2$

这一项就是之前的$J(\theta)$，由此得证，之前的最小二乘法计算参数，实际上是假设了误差项满足高斯分布，且独立同分布的情况，使$\theta$似然最大化来计算参数。

注意：高斯分布的方差对最终结果没有影响，由于方差一定为正数，所以无论取什么值，最后结果都相同。

假设$h_{\theta}(x)=\theta_{0}+\theta_{1}x$,下面在matlib中画出损失函数$J(\theta)$。

样本文件下载：ex2Data.zip

代码如下：

clear all; close all; clc;
J_vals = zeros(100, 100);   % 初始化损失函数参数矩阵，假设只有theta_0, theta_1
theta0_vals = linspace(-3, 3, 100); %范围-3,3,100个值
theta1_vals = linspace(-1, 1, 100); %范围-1,1,100个值
x = load('ex2x.dat');
y = load('ex2y.dat');
m = length(x);
x = [ones(m, 1) x];
%循环theta0,theta1
for i = 1:length(theta0_vals)
	  for j = 1:length(theta1_vals)
	      t = [theta0_vals(i); theta1_vals(j)];
	      J_vals(i,j) = 0;
          for k = 1:m
             J_vals(i,j) = J_vals(i,j)+(x(k,:)*t-y(k))^2;
          end
          J_vals(i,j) = J_vals(i,j)/(2*m);
    end
end

% 用surf函数来画损失函数
J_vals = J_vals'
figure;
surf(theta0_vals, theta1_vals, J_vals)
xlabel('\theta_0'); ylabel('\theta_1')
figure;
% 画损失函数的轮廓，注意范围是0.01 - 100,总共15个轮廓
contour(theta0_vals, theta1_vals, J_vals, logspace(-2, 2, 15))
xlabel('\theta_0'); ylabel('\theta_1')

程序运行后效果如下

你可以旋转图，从不同视角观察这个图形。右边的轮廓图$\theta$范围是0.01 - 100,总共15个轮廓。

我们可以看到取我们用梯度下降法中求得的$\theta$值时，损失函数取得最小值，并且损失函数具有全局最小值，并没有局部极小值，它是一个凸函数。

这是我们用批量梯度下降法求得的$\theta$值。 http://www.cnblogs.com/mikewolf2002/p/7634571.html

theta =

    0.7502
     0.0639