最小二乘法小结

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     最小二乘法是用来做函数拟合或者求函数极值的方法。在机器学习，尤其是回归模型中，经常可以看到最小二乘法的身影，这里就对最小二乘法的认知做一个小结。

1.最小二乘法的原理与要解决的问题　

　　　　最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，原理的一般形式很简单，当然发现的过程是非常艰难的。形式如下式：

　　　　　　目标函数 = Σ（观测值-理论值）²

　　　　观测值就是我们的多组样本，理论值就是我们的假设拟合函数。目标函数也就是在机器学习中常说的损失函数，我们的目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。举一个最简单的线性回归的简单例子，比如我们有m个只有一个特征的样本：

$$(x^{(1)},y^{(1)}), (x^{(2)},y^{(2)},...(x^{(m)},y^{(m)})$$

　　　　样本采用下面的拟合函数：

$$h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1 x$$

　　　　这样我们的样本有一个特征$x$，对应的拟合函数有两个参数$\theta_0$和$\theta_1$需要求出。

　　　　我们的目标函数为：

$$J(\theta_0, \theta_1) = \sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)} - h_\theta(x^{(i)}))^2 = \sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)} -  \theta_0 - \theta_1 x^{(i)})^2$$

　　　　用最小二乘法做什么呢，使$J(\theta_0, \theta_1)$最小，求出使$J(\theta_0, \theta_1)$最小时的$\theta_0$和$\theta_1$，这样就得到拟合函数了。

　　　　那么，最小二乘法怎么才能使$J(\theta_0, \theta_1)$最小呢？

2.最小二乘法的代数法解法

　　　　上面提到要使$J(\theta_0, \theta_1)$最小，方法就是对$\theta_0$和$\theta_1$分别来求偏导数，令偏导数为0，得到一个关于$\theta_0$和$\theta_1$的二元方程组。求解这个二元方程组，就可以得到$\theta_0$和$\theta_1$的值。下面我们具体看看过程。

$J(\theta_0, \theta_1)$对$\theta_0$求导，得到如下方程：

$$\sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)} -  \theta_0 - \theta_1 x^{(i)}) = 0$$                    

$J(\theta_0, \theta_1)$对$\theta_1$求导，得到如下方程：

$$\sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)} -  \theta_0 - \theta_1 x^{(i)}) x^{(i)}= 0$$ 　　

　　　上面两个方程组成一个二元一次方程组，容易求出$\theta_0$和$\theta_1$的值：

$$\theta_0 = \bigg(\sum\limits_{i=1}^{m}\big(x^{(i)})^2\sum\limits_{i=1}^{m}y^{(i)} - \sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}y^{(i)}\bigg)\Bigg/ \bigg(n\sum\limits_{i=1}^{m}\big(x^{(i)})^2 - \big(\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)})^2\bigg)$$

$$\theta_1 = \bigg(n\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}y^{(i)} - \sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}\sum\limits_{i=1}^{m}y^{(i)}\bigg) \Bigg/\bigg( n\sum\limits_{i=1}^{m}\big(x^{(i)})^2 - \big(\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)})^2\bigg)$$

　　　　这个方法很容易推广到多个样本特征的线性拟合。

　　　　拟合函数表示为 $h_\theta(x_1, x_2, ...x_n) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + ... + \theta_{n}x_{n}$, 其中$\theta_i (i = 0,1,2... n)$为模型参数，$x_i (i = 0,1,2... n)$为每个样本的$n$个特征值。这个表示可以简化，我们增加一个特征$x_0=1$ ，这样拟合函数表示为：

$$h_\theta(x_0, x_1, ...x_n) = \sum\limits_{i=0}^{n}\theta_{i}x_{i}$$

　　　　损失函数表示为：

$$J(\theta_0, \theta_1..., \theta_n) = \sum\limits_{j=1}^{m}(h_\theta(x_0^{(j)}, x_1^{(j)}, ...x_n^{(j)}) - y^{(j)})^2 = \sum\limits_{j=1}^{m}((\sum\limits_{i=0}^{n}\theta_{i}x_{i}^{(j)})- y^{(j)})^2$$

　　　　利用损失函数分别对$\theta_i (i=0,1,...n)$求导,并令导数为0可得：

$$\sum\limits_{j=1}^{m}(\sum\limits_{i=0}^{n}\theta_{i}x_{i}^{(j)} - y^{(j)})x_i^{(j)}=0 (i=0,1,2,…,n)$$

　　　　这样我们得到一个$n+1$元一次方程组，这个方程组有$n+1$个方程，求解这个方程，就可以得到所有的$n+1$个未知的$\theta$。

　　　　这个方法很容易推广到多个样本特征的非线性拟合。原理和上面的一样，都是用损失函数对各个参数求导取0，然后求解方程组得到参数值,这里就不累述了。

3.最小二乘法的矩阵法解法

　　　　矩阵法比代数法要简洁，且矩阵运算可以取代循环，所以现在很多书和机器学习库都是用矩阵法来做最小二乘法。

　　　　这里用上面的多元线性回归例子来描述矩阵法解法。

　　　　假设函数$h_\theta(x_1, x_2, ...x_n) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + ... + \theta_{n}x_{n}$的矩阵表达方式为：

$$h_\mathbf{\theta}(\mathbf{x}) = \mathbf{X\theta}$$

　　　　其中， 假设函数$h_\mathbf{\theta}(\mathbf{X})$为$m\times 1$的向量,$\mathbf{\theta}$为$n\times 1$的向量，里面有$n$个代数法的模型参数。$\mathbf{X}$为$m\times n$维的矩阵。$m$代表样本的个数，$n$代表样本的特征数。

　　　　损失函数定义为

$$J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})$$

　　　　其中$\mathbf{Y}$是样本的输出向量，维度为$m\times 1$, $\frac{1}{2}$在这主要是为了求导后系数为1，方便计算。

　　　　根据最小二乘法的原理，我们要对这个损失函数对$\theta$向量求导取0。结果如下式：

$$\frac{\partial}{\partial\mathbf\theta}J(\mathbf\theta) = \mathbf{X}^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y}) = 0$$

　　　　

     这里面用到了矩阵求导链式法则，和三个矩阵求导的公式。

     首先把$（\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})$展开，为$\theta^TX^TX\theta-\theta^TX^TY-Y^TX\theta+Y^TY$,利用下面三个公式对$\theta$求导，即可求得上面的结果。

公式1：$A$为对称矩阵

$$\frac{\partial}{\partial\mathbf{X}}(\mathbf{X^TAX}) =2\mathbf{AX}$$

公式2：

$$\frac{\partial}{\partial\mathbf\theta}(\mathbf{X\theta}) =\mathbf{X^T}$$

公式3：

$$\frac{\partial}{\partial\mathbf\theta}(\mathbf{\theta^TX}) =\mathbf{X}$$

　　　　对上述求导等式整理后可得：

$$\mathbf{X^{T}X\theta} = \mathbf{X^{T}Y}$$

两边同时左乘$(\mathbf{X^{T}X})^{-1}$可得：

$$\mathbf{\theta} = (\mathbf{X^{T}X})^{-1}\mathbf{X^{T}Y}$$

　　　　这样我们就一下子求出了$\theta$向量表达式的公式，免去了代数法一个个去求导的麻烦。只要给了数据,我们就可以算出$\theta$。

4.最小二乘法的局限性和适用场景　　

　　　　从上面可以看出，最小二乘法适用简洁高效，比梯度下降这样的迭代法似乎方便很多。但是这里我们就聊聊最小二乘法的局限性。

　　　　首先，最小二乘法需要计算$\mathbf{X^{T}X}$的逆矩阵，有可能它的逆矩阵不存在，这样就没有办法直接用最小二乘法了，此时梯度下降法仍然可以使用。当然，我们可以通过对样本数据进行整理，去掉冗余特征,让$\mathbf{X^{T}X}$的行列式不为0，然后继续使用最小二乘法。

　　　　第二，当样本特征n非常的大的时候，计算$\mathbf{X^{T}X}$的逆矩阵是一个非常耗时的工作（nxn的矩阵求逆），甚至不可行。此时以梯度下降为代表的迭代法仍然可以使用。那这个n到底多大就不适合最小二乘法呢？如果你没有很多的分布式大数据计算资源，建议超过10000个特征就用迭代法吧,或者通过主成分分析降低特征的维度后再用最小二乘法。

　　　　第三，如果拟合函数不是线性的，这时无法使用最小二乘法，需要通过一些技巧转化为线性才能使用，此时梯度下降仍然可以用。

　　　　第四，讲一些特殊情况。当样本量m很少，小于特征数n的时候，这时拟合方程是欠定的，常用的优化方法都无法去拟合数据。当样本量m等于特征说n的时候，用方程组求解就可以了。当m大于n时，拟合方程是超定的，也就是我们常用于最小二乘法的场景了。

5.最小二乘法的例子

数据同http://www.cnblogs.com/mikewolf2002/p/7634571.html中使用的数据。

程序代码如下：

clear all; close all; clc;
x = load('ex2x.dat');
y = load('ex2y.dat');
figure('name','线性回归-最小二乘法')
plot(x,y,'o')
xlabel('年龄')
ylabel('高度')
m = length(y); % 样本数目
x = [ones(m, 1), x]; % 输入特征增加一列1作为x0
theta=inv(x'*x)*x'*y; %通过最小二乘法计算的矩阵来求得假设函数系数
hold on
plot(x(:,2), x*theta, '-') % x是两列矩阵，第二列是年龄
legend('训练数据', '线性回归')
theta
predict1 = [1, 3.5] *theta
predict2 = [1, 7] *theta

程序输出结果：

theta =

    0.7502
    0.0639


predict1 =

    0.9737


predict2 =

    1.1973