CF1937D Pinball 题解

题目链接：https://codeforces.com/contest/1937/problem/D

题意简述
一个长为n的格子，用 '<'或'>'组成的字符串表示，在位置i放一个小球，当前所在位置是'<'则下一秒左移一步，否则下一秒右移一步。小球移动后，之前位置的符号反转，'<'变成'>'，'>'变成'<'，直到小球离开整个格子。
求在0至n-1共n个位置放置小球后离开格子需要的时间，每个位置放入小球互相独立，即都是放入初始状态的格子中。

题解

1. 首先我们要明确小球是必定可以离开整个格子的，无论小球往左还是往右走，直到遇到一个方向相反的字符，小球调转方向，此时符号反转，即小球遇到的符号最终都是向格子外，直到小球离开；

2. 我们考虑单独放一个小球到位置i，小球会从什么方向离开，如果当前的符号是'<'，则小球先向左走，直到遇到一个反向的符号'>'，此时小球转向，向右走，遇到之前的'<'，再弹回来；模拟这个过程，除了s[i]外（从s[i]移到到s[i - 1]后，s[i]已经变成了'>'），如果左边有m个'>'，则右边也需要m个'<'把小球弹回来，小球最终才是往左边离开；

3. 我们考虑单独放一个小球到位置i，当前的符号是'<'，左边有m个'>'，右边有m个'<'（多于k个没有意义），最终小球离开时，需要多少秒。
   首先，小球从i一直向左直到离开，如果没有阻碍，时间是i + 1；
   如果有一对'>'和'<'，记他们的位置为j和k，到j时，会转向，直到k再转向回到j，然后继续向左，此时多走的距离为(k - j) * 2；
   所以单独考虑位置i，答案就是i + 1 + 左右m对'>'和'<'的距离差的和 * 2；

4. 从特殊到一般，我们考虑答案从i到i + 1的转移；
   首先前提是小球放到位置i最终是向左离开的，需要的时间是i + 1 + more，more表示小球中间来回弹需要的时间；
   此时小球放置到了原始的i + 1，

   • 如果s[i + 1] = '>'，则右边需要多一个'<'弹回来，才等于在s[i]向左的时间；
     这边我们需要一个等式，有四个变量\(a < b < c < d\)，则\((c - b) + (d - a) = (c - a) + (d - b)\);
     我们从s[i]转移到s[i + 1]，more需要增加的就是下一个'<'的位置j减当前位置i的距离 * 2；

   • 如果s[i + 1]是'<'呢，假设前面已经有k个'>'相匹配了，由于小球从i + 1的位置开始，则匹配的'<'少了一个，需要右边再补一个'<'，小球才会从左边离开，more需要增加的距离也是下一个'<'位置减i的距离*2：
     \((d - b) + (e - a) = (c - b) + (d - a) + (e - c)\)

至此，我们可以先记录'<'的位置到数组中，然后从0到n - 1遍历计算所有小球会向左边离开的位置的答案，如果'<'位置数组为空则中止；至于小球向右边离开的答案，反向再来一次就行，我觉得应该可以一次遍历同时计算完成左右两种情况，这里等一位巨佬出手。

整体时间复杂度：\(O(n)\)

Python代码

点击查看代码

import sys

# region fastio
input = lambda: sys.stdin.readline().rstrip()
sint = lambda: int(input())
mint = lambda: map(int, input().split())
ints = lambda: list(map(int, input().split()))
# endregion fastio

def solve() -> None:
    n = sint()
    s = input()
    ans = [-1] * n
    left, right = [], []
    for i in range(n):
        if s[i] == '>':
            right.append(i)
        else:
            left.append(i)
    left.reverse()
    more = 0
    for i in range(n):
        if not left:
            break
        more += (left.pop() - i) * 2
        ans[i] = i + 1 + more
    more = 0
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        if not right:
            break
        more += (i - right.pop()) * 2
        ans[i] = n - i + more
    print(*ans)

for _ in range(int(input())):
    solve()